探究函数思想，提高考研数学课堂教学质量

李霞

摘 要： 函数是考研数学中最重要的基本概念之一，而由此产生的函数思想更是重要的.在考研数学教学中，重视函数思想的渗透与贯穿，对于培养学生的数学思维能力和提高课堂教学质量均具有非常深远的意义.

关键词： 函数思想 考研数学课堂教学 应用

函数是考研数学中最重要的基本概念之一，而由此产生的函数思想对于微积分理论的学习更加重要，它几乎贯穿考研高等数学教学内容的始终，非常值得探究.所谓函数思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，化静为动、化离散为连续、化特殊为一般、化形式为内容、化常量为变量、化未知为近似、化存在为内在规律，将所讨论的问题转化为函数问题并加以解决的一种重要的思想方法.在考研数学课堂教学中，重视函数思想的渗透与贯穿，对于培养学生的数学思维能力和提高课堂教学质量均具有非常深远的意义.

一、以函数为桥梁，化静为动——函数思想在方程根的存在性问题中的应用

代数方程与函数相比，前者是静止，后者是运动，方程的根可视为对应函数在某种特定状态下的值.在研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性与个数时，若从函数的观点出发，化静为动，往往能将问题化难为易，化繁为简.

例1：证明方程x■+x-1=0只有一个正根.

解：设函数f（x）=x■+x-1，x∈[0，+∞），因为f（x）在闭区间[0，1]上连续，且f（0）=-1<0，f（1）=1>0，所以由零点定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）=0，也即方程x■+x-1=0至少有一个正根ξ.又因为f′（x）=5x■+1>0恒成立，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调增加，故方程x■+x-1=0只有一个正根.

二、以函数为背景，化离散为连续——函数思想在数列问题中的应用

数列通项可看作定义在正整数集上的离散函数u■=f（n）（n∈Z■），而将它连续化后的函数y=f（x）（x∈（0，+∞））通常很可能具有可导性等良好的性质.从函数的观点出发，将数列问题转化为相应的连续化函数问题，是求解数列问题的有效方法之一.

例2：试求数列{■}的最大项.

分析与求解：数列{■}各项分别为1，■，■，■，…，■，若想通过比较法求解最大项，十分困难.现采用函数方法求解，将数列{■}连续化为函数f（x）=■，在（0，+∞）上作一般讨论.因f（x）=■=x■=e■，故f′（x）=（e■）′=■■，令f′（x）=0得f（x）在（0，+∞）上唯一驻点x=e，当x>e时，f′<0，f（x）单调减少，当x0，f（x）单调增加，故f（x）在x=e处取得最大值e■.而2

又f（2）=■≈1.414

项■.

三、以函数为背景，化特殊为一般——函数思想在级数求和问题中的应用

例3：求级数■■的和.

分析与求解：此问题直接求解相当困难，于是想引入一个适当的函数项级数■u■（x），使得当x取某个特定值x■时，■u■（x■）恰好等于■■，且函数项级数■u■（x）的和函数比较容易得到.为此，引入s（x）=■■，则■■=s（■）.幂级数■■的收敛区间为（-1，1），显然x■=■∈（-1，1）.利用逐项积分公式得，

S（x）=■■=x■■=x■？蘩■■x■dx=x？蘩■■（■x■）dx=x？蘩■■■dx=-xln（1-x）

故■■=s（■）=-■ln■=■ln2.

四、以函数为中心，化形式为内容——函数思想在不等式证明问题中的应用

在证明不等式时，可以将不等式问题化为以函数为中心的问题思考，化形式为内容，从而为解决问题带来方便.

例4：证明不等式■≤■+■

分析与证明：通过观察不等式的形式特征，发现它的内容实质上是以函数f（x）=■，x∈[0，+∞）为中心的问题.事实上，因为f′（x）=■>0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上单调增加.又因为0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即■≤■，

而■=■+■≤■+■，

所以由不等式的传递性得■≤■+■.

五、以函数为媒介、化常量为变量——函数思想在积分问题中的应用

例5：证明微积分基本公式？蘩■■f（x）dx=F（b）-F（a）.

分析与证明：牛顿和莱不尼兹在证明微积分基本公式？蘩■■f（x）dx=F（b）-F（a）时，将常量b一般化为变量x，引入变上限函数φ（x）=？蘩■■f（t）dt，于是定积分？蘩■■f（x）dx可看作φ（x）在x=b处的值，只需先证明φ（x）=F（x）-F（a），事实上，由于变上限函数φ（x）=？蘩■■f（t）dt与F（x）都是f（x）的原函数，因此二者之间只相差一常数C，即？蘩■■f（t）dt=F（x）+C，令x=a得C=-F（a），因此？蘩■■f（t）dt=F（x）-F（a），再将x=b代入即可得到要证明的结论.这是用函数思想研究积分问题的典型代表.

六、以函数为工具、化未知为近似——函数思想在近似计算中的应用

求解某些常数问题，可以转化为函数问题，化未知为近似，应用函数微分与函数增量之间的关系作出近似计算.

例6：计算■.

解：■=■=5■，设f（x）=■，x■=1，△x=-■，则f（1）=1，f′（1）=■，

因为|△x|=■较小，所以f（x■+△x）-f（x■）≈f′（x■）△x，即■≈1+（-■）×■=■，

所以■≈5×■≈4.6667.

七、以函数为纽带、化存在为内在规律——函数思想在讨论中间值存在性问题中的应用

例7：设b>a>0，证明存在ξ∈（a，b），使得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）成立.

分析与证明：由于要证中间值ξ的存在性，这类问题显然要用到中值定理，关键要从所证等式中发现内在规律性，找到要构造出何种函数应用中值定理.所证等式经过变形，实质上等价于■=lnξ-1，还是看不出要找的函数，为了凑出f（b）-f（a）的形式，继续变形为■=lnξ-1，这样就能看出应对函数■，■在[a，b]上应用柯西中值定理.事实上，设函数f（x）=■，g（x）=■，则它们在[a，b]上满足柯西中值定理的条件，

所以，存在ξ∈（a，b），使得■=■，即■=■，

化简得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）.

参考文献：

[1]高等数学（第六版）.同济大学应用数学系编.高等教育出版社.