高考复习中值得关注的五大函数模型

张艳

摘 要： 本文结合历年高考数学试题，对备受命题专家青睐的一些函数模型及性质作一总结归纳，旨在对高中数学教学有所帮助.

关键词： 高考 函数模型 总结

在高考试题中，无论是全国卷还是各省市卷，除了二次函数、三次函数和分段函数（这三种模型几乎在每套试题中都有）外，还有一些函数模型备受命题专家青睐.现将它们及其常见性质列出，供同行和高三学生参考.

1.形如f（x）=■（a≠0，x≠-■）的函数

函数可变形为f（x）=■=■+■，其图像是由反比例函数图像通过平移变换得到的，它的性质见表1.

例1：（2011课标全国卷理12）函数y=■的图像与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于（？摇 ？摇）

A.2 B.4 C.6 D.8

解析：画出两函数在所给区间上的示意图，立刻可得答案为D.

评析：画图时要注意两函数图像的关键点，有些学生画图比较随意而出错.

2.形如g（x）=ax+■（ab≠0）的函数

函数g（x）性质见表2.

表2

例2：（2010年大纲全国卷Ⅰ理10）已知函数f（x）=|lgx|，若0

A.（2■，+∞） B.[2■，+∞） C.（3，+∞） D.[3，+∞）

解析：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或b=■，所以=a+2b=a+■，又0f（1）=1+■=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）.故选C.

评析：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=a+■>2■，从而错选A，这也是命题者的良苦用心之处.

直接以“对勾”函数为模型的高考题较少，而多半在综合题中化归转化为“对勾”模型.

3.形如h（x）=a■±a■（a>0，且a≠1）的函数

函数的性质见表3：

表3

例3：（2010年课标全国卷理5）已知命题p■：函数y=2■-2■在R为增函数，p■：函数y=2■+2■在R为减函数，

则在命题q■：p■∨p■，q■：p■∧p■，q■：（？劭p■）∨P■和q■：p■∧（？劭p■）中，真命题是（？摇 ？摇）

A. q■，q■ B. q■，q■ C.q■，q■ D.q■，q■

解析：p■真p■假，所以q■，q■真，故选C.

评析：2011年湖北理6，2010年广东理3、重庆理5都是本函数模型.

4.形如p（x）=■|x-k|（n∈N*，x∈R）的函数

当n为偶数时，函数p（x）在（-∞，■]上是减函数，在[■+1，+∞）上是增函数；当x∈[■，■+1]时，函数p（x）到得最小值，且p（x）■=1+3+…+（n-1）=■，无最大值.

当n为奇数时，函数p（x）在（-∞，■]上是减函数，在[■，+∞）上是增函数；当x=■时，函数p（x）取得最小值，且p（x）■=0+2+4+…+（n-1）=■，无最大值.

特别地，对于函数y=|x-a|+|x-b|（a

例4：（2006年全国卷Ⅱ理12）函数f（x）=■|x-n|的最小值为（？摇 ？摇）

A. 190 B. 171 C. 90 D. 45

解析：当x=■=10时，f（x）■=■=90.

评析：2011年陕西理14，2013四川理15等都可用该模型解答.值得一提的是，近几年新课标卷不等式选讲试题中有许多与“U”型函数有关.

5.与函数y=e■，y=x，y=lnx有关的函数模型

单独考虑三个函数，似乎没有多大意义，若我们把三个函数图像画在同一坐标系中，则大有文章可做.近几年全国卷和各省市卷的函数、导数综合题很多与它们有关.

可以证明，曲线y=e■与直线y=x+1相切于点（0，1），曲线y=lnx与直线y=x-1相切于点（1，0）（如图1）.由此可得：

①对任意x∈R都有x-1

②对任意x>0都有lnx≤x-1

（x=1时“=”成立）.

例5：（2012年全国课标卷理10）已知函数f（x）=■；则y=f（x）的图像大致为（？摇 ？摇）

解析：函数的定义域为（-1，0）∪（0，+∞），排除D，又由②知ln（x+1）

例6：（2013课标全国Ⅱ理21）已知函数f（x）=e■-ln（x+m）

（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解析：（Ⅰ）（过程略）当m=1时，f（x）在x=0处取得最小值.f（x）在（-1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数.其几何意义很明显，如图2，设直线x=a（a>-1）与曲线y=e■和y=ln（x+1）交于M、N两点，当a在（-1，0）上由小到大取值时，|MN|减少，当a=0时，|MN|最小是1，当a在（0，+∞）上由小到大取值时，|MN|增大.

（Ⅱ）因为当m≤2时，ln（x+m）≤ln（x+2），所以要证f（x）>0，只需证ln（x+2）-2时，由①②易得ln（x+2）≤x+1≤e■，而前一个“=”在x=-1时取得，后一个“=”在x=0时取得，因而ln（x+2）

当然上述证明欠严谨，但我们可从中看出命题人的思路，完全可以仿此命制一道有质量的模拟题.如：

例7：已知函数f（x）=e■-1，g（x）=ln（x+1）.

（Ⅰ）求函数f（x）的图像与函数g（x）的图像交点处的公切线方程；

（Ⅱ）若0≤y

解析：（Ⅰ）解略；

（Ⅱ）利用已有的结果有：e■-1>x>ln（x+1），从而得f（x-y）=e■-1>x-y，g（x）-g（y）=ln（x+1）-ln（y+1）=ln■<■-1，

只需比较x-y与■-1=■的大小即可.

第（Ⅱ）问的几何意义是k■>k■（图4），

即■>■，亦即f（x-y）>g（x）-g（y）.

评析：利用已有的结果：e■-1>x>ln（x+1），把三个函数图像画在同一坐标系中，结合几何意义，从而使问题得到巧妙的解答.