复积分计算的学习心得与体会

屈娟

摘    要： 复积分是复变函数论中比较重要的一部分，本文从教学目标、学生的学习能力出发，给出复积分计算的课堂教学的教学经验.

关键词： 复积分    柯西—古萨定理    留数定理    教学目标

《复变函数》课程是工科专业的学生必须学习的一门课程，它的理论和方法有助于学生对专业课的学习.因此，学好《复变函数》对学生来说是非常重要的一件事情.复积分是《复变函数》中非常重要的一部分，不仅是讨论解析函数的一个重要工具，而且为后面的积分变换打下基础.再者复积分计算比实变函数的积分复杂、困难.如何在课堂教学中使学生在有限的时间内具有分析问题、解决问题的能力，即在有限的时间使学生拿到复积分的题目就能迅速准确地做出来？本文首先介绍复积分计算的教学目标，然后通过例子分析具体复积分的计算，最后进行总结.

制定教学目标是教学活动中的一个重要环节，是具体实施教学的重要前提.一节课的成败关键在于教学目标是否全面、准确、具体和切合学生的实际学习能力.复积分计算教学的目标是：首先，学生理解掌握几种情形下的复积分计算的方法;其次，从复积分的计算中学生应学会思考问题，分析问题，解决问题的能力;最后，学生应总结复积分计算的心得，在学习方法上得到启示，研究创造出更好更有效的学习其他课程的方法.制定这样的教学目标，可以调动学生的积极性，鼓励学生主动参与课堂教学活动，而不是灌输式的教学，让学生敢于怀疑，研究，创造.具体在教学中，课堂开始，教师首先说出本节课的教学目标，提出问题，启发学生找到解决问题的思路和方法.总之，在复积分的学习中，学生应掌握基本概念和基本理论，并将所学的东西应用到实际生活中.

再者，考虑学生的兴趣和学习能力这两个方面.首先是培养学生学习复积分计算的兴趣，这对学习复积分计算这一节有着很重要的作用.大部分的工科学生学习了一年的《高等数学》后，对大学数学的学习充满了畏惧、害怕的情绪，认为自己学不懂，觉得知识很难.此外，很多《高等数学》中积分计算方法都不能使用等一些问题使复积分的计算的学习更加困难.如何让学生喜爱这节课将成为学好复积分计算的重要前提.我主要从以下方面做起：首先，树立他们能够学懂的信心.其次，讲一些涉及复积分计算的一些科学家的故事和有趣的事情，培养起他们学习的兴趣.最后，将复积分和《高等数学》中的实积分进行比较，再加以补充.

下面具体说明：在《高等数学》中，函数在积分区间[a，b]上的积分值等于被积函数的原函数在积分区间[a，b]上的增量.让学生思考，复变函数在积分区间上的积分值计算可否求出被积函数的原函数，然后计算原函数在两个端点处的函数值的差值.如果可以，则需要满足怎样的条件？接下来给出定理并举例说明.如果在单连通区域D内解析，G（z）为f（z）的一个原函数，那么  f（z）dz=G（z ）-G（z ），其中z ，z 为D内的点.

例1.计算积分 coszdz.

解： coszdz=-sinz| = （e -e ）.

高等数学中计算定积分的方法有凑微分法，分部积分法等，这些求定积分的方法都可以平移过来.

例2：计算积分

解：由于在整个复平面内处处解析，则 ze dz= zd（e ）=e ·z| -？ e =e （1+i）-e | =ie .

《高等数学》中，计算曲线积分时，需要将曲线积分的积分路径的参数方程写出来，然后将曲线积分转化成定积分.提出问题，复变函数中，被积函数沿着积分路径的复积分可否用同样的方法呢？即写出积分路径的复参数方程，转换成复积分，然后计算.给出定理：设曲线C的参数方程为z（t）=x（t）+iy（t），a≤t≤b，则复积分  f（z）dz=  f（z（t））z′（t）dt.

例3：计算  zdz，其中C为从原点到点1+2i的直线段.

解：直线方程可写成：z（t）=t+i2t，0≤t≤1，因此

zdz=  （1+2i） tdt=（1+2t）   tdt= （1+2i） .

这种方法重点在于要将曲线方程的参数方程写出来，然后再计算定积分即可.在实际教学过程中，多举几个例子，发现上述的方法计算复积分时，有时复积分与积分路径有关，有时复积分值又与积分路径无关，因此提出一个问题：复变函数在什么条件下积分值与路径无关呢？再者联想到《高等数学》中，曲线积分与路径无关的几个等价条件中有一个是沿着区域D中任意一条简单闭曲线积分值等于0.而这个问题1825年的法国数学家柯西解决了这个问题.即柯西积分定理（柯西-古萨定理）.柯西-古萨定理是指如果f（z）在单连通区域D内解析，则f（z）在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分  f（z）dz=0.

例4：计算复积分 dz.

解：函数在内处处解析，根据柯西-古萨定理，可知： dz=0.

例5：计算复积分  sinzdz，其中C是圆|z-1|=1的上半圆周，定向从0到2.

解：因在整个复平面内解析，由柯西积分定理，发现题目的积分与积分路径无关，于是取另外一条积分路径（沿实轴从0到2），这样有  sinzdz=  sinzdz=  sinzdz=1-cos2.

继续分析问题，上述的柯西积分定理中，f（z）在单连通区域D内处处解析，如果f（z）在区域D内不解析，即函数f（z）在区域D有奇点时，函数沿闭曲线的积分怎么来求？根据柯西积分定理的推论，函数f（z）沿一条闭曲线C的积分，归结为求C内各孤立奇点的留数和.

下面介绍留数定理：设函数f（z）在区域D内除有限个孤立奇点z ，z ，…，z 外处处解析，C是D内包含各孤立奇点的一条正向简单闭曲线，则   f（z）dz=2πi Res[f（z），z ].留数定理为计算复积分提供了一个新的方法、即函数沿闭曲线C的积分转化为求被积函数在C中的各孤立奇点的留数.

例6：计算复积分 dz.

解：函数 在|z|≤1有一个2015及极点，则复积分 dz=2πi· = .

此外，若函数f（z）在扩充复平面内只有有限个孤立奇点z ，z ，…，z ，∞，那么f（z）在各点的留数总和为零.计算复变函数沿闭曲线积分转化为计算函数在∞点的留数，这又是一种计算函数沿闭曲线的复积分的方法.

例7：计算积分 dz，C为正向圆周|z|=2.

解：函数 在|z|=2的外部除点外没有其他奇点.则  dz=-2πiRes[f（z），∞]=2πiRes[f（z） ，0]=2πiRes[f（z） ]=2πiRes[ ，0]=0.

到目前为止，所有的复积分计算方法都讨论了.从上述讨论过程可看出，培养了学生思考问题、分析问题和解决问题的能力.通过归纳，总结《高等数学》中积分的计算方法，以及和复积分的区别之处，找出解决问题的本质.整个教学中注意到了方法之间的联系和区别.为了培养学生的创造性思维和动脑、动手能力，课堂最后，留一些合适的思考题.这些思考题可以培养学生独立解决问题的能力，是培养学生创新能力的重要途径和方法.此外，还要求学生找一些自己本专业里面的一些涉及复积分的问题去解决，检验自己的学习效果.当然，布置一些相应的作业题是必需的，从作业中可看出学生掌握知识的程度，再对课堂教学加以改进.

以上主要探讨了复积分计算的教学经验和心得体会，希望这样的总结和归纳能够帮助更多的学生学好复积分.

参考文献：

[1]李红，谢松法.复变函数与积分变换.北京：高等教育出版社，2008.

[2]李汉龙，缪淑贤.复变函数.北京：国防工业出版社，2011.