例题分析解初中函数的常用思想方法归纳

潘志伟

摘 要： 函数问题是初中数学基础知识的重要组成部分，也是每年中考必考的一大热点.本文通过例题分析，结合函数的知识范畴，对初中函数常用的思想方法作归纳.

关键词： 函数 例题 思想方法

函数问题是初中数学基础知识的重要组成部分，也是每年中考必考的一大热点.其中蕴含的思想方法极为丰富，对学生观察、分析、解决问题的能力都有十分明显的提升作用.初中函数介绍了有关函数的一些最基础、最初级的知识，为学习高中函数知识打下了坚实的基础.本文结合初中函数的知识范畴，对解函数题常用的思想方法作简单的归纳及应用.

一、待定系数法

该方法主要用于求一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的解析式.它的一般步骤是（一设、二列、三解、四还原）：（1）先设待求函数关系式，其中包括未知的系数.（2）把自变量与函数的对应值代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程或方程组.（3）解方程（组）求出待定系数的值.（4）写出函数关系式.例如已知一次函数的图像经过点（-1，1）和点（1，-5），求这个函数的解析式.简析：本题考查用待定系数法求一次函数解析式.解：设所求函数关系式为：y=kx+b由题意，得1=-k+b-5=k+b.解这个方程组，得k=-3b=-2，这个函数解析式为：y=-3x-2.点评：用待定系数法求函数解析式或待定系数是每年中考考查的一大热点，它的解题思路就是按四个步骤进行.

二、数形结合法

该方法主要用于解答含有几何图形的函数题，这种类型的函数题最大的特点是数形结合，即用代数的方法研究几何问题.例如（2006年泉州中考18题）如左图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图像能大致反映y与x之间的函数关系的是（？摇 ？摇）

简析：解决本题的关键是读懂图意，表示出y与x的关系式，从而判断图像的形状.

解答：设BC的长度为常数k，则y=■×2×k-■×2x=k-x，那么此函数为一次函数，因为x系数小于0，所以应是减函数.故选C.点评：把几何图形放在平面直角坐标系中，将函数的概念与几何知识巧妙结合，解这种类型的函数题，常用数形结合法，这种方法常常用化“虚”为“实”，化“难”为“易”.

三、配方法

对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数通过配方变成顶点式y=a（x-h）■+k的形式，则得到顶点坐标（h，k），对称轴直线x=h；若a>0，函数y有最小值k；若a<0时，函数y有最大值为k.例如某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间.市场调查发现：若每箱发50元销售，平均每天可售出90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱.（1）写出售价x（元/箱）与每天所得利润w（元）之间的函数关系式；（2）每箱定价多少元时，才能使平均每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）依题意得：y=（x-40）[90+3（50-x）]或y=（x-40）[90-3（x-50）]；（2）由（1）得：y=（x-40）[90+3（50-x）]=-3x■+360x-900=-3（x-60）■+1200，∵a=-3<0抛物线开口向下，又40

四、分类讨论法

该方法解函数题的关键在于列出函数关系式，再进行分类讨论.

例如：甲、乙两旅行社服务质量相同，组织旅游去A地价格是每人400元，如果10人以上集体购票，甲旅行社给予每位游客七五折优惠；乙旅行社在优惠320元的基础上，每人享受8折优惠.试分别列出甲、乙两集体组团去A地的总收费用y（元）与参游人数x（人）的函数关系式，并帮助选择哪家旅行社的总费用较少.解：依题意得y■=400×0.75x即y■=300x，y■=400×0.8x-320即y■=320x-320，分类讨论：①当y■=y■时，解得x=16；②当y■>y■时，解得x<16；③当y■16，所以，当游客人数为16人时，选择甲或乙两旅行社费用相同；当游客人数在10—15人时，应选择乙旅行社；当游客人数多于16人时，应选择甲旅行社.点评：用分类讨论法解函数题一般分三步：第一，根据题目需要确定分类讨论的对象；第二，针对讨论对象进行合理的分类讨论；第三，对讨论结果进行归纳合并，综合得出结论.

五、跨学科联系渗透法

该方法主要用于解决跨学科的函数问题.这种类型的函数题常与物理、化学进行有机滲透，体现了数学作为工具学科的本质特征.

例如：已知二氧化碳的密度p（kg/m■）与体积V（m■）的函数关系式是p=■.求当V=5m■时，二氧化碳的密度p，并说明二氧化碳的密度p随体积V的增大或减小而变化的情况，简析：这是一题应用反比例函数性质与物理相结合应用题.解：依题意得p=■=1.98（kg/m■），∵k>0，∴当CO■体积增大密度减小，体积减小密度增大.点评：跨学科函数题的关键是熟练进行学科知识联系，解决相应跨学科问题的知识间的相互渗透.

总之，函数问题是历届中考的重要考点，解函数题的思想方法还有很多，如取特殊值法、函数与方程转化法等.本文归纳了一些常见的基本思想方法，这些方法必须掌握好.