复变函数课程的实践性教学改革研究

晋守博 赵美玲 霍承刚

摘 要： 本文分别从实积分新解法、数学建模及实验三个方面入手，研究了复变函数课程的实践性教学改革问题.首先给出了培养学生多元思维能力的方法，然后从数学建模和实验方面探讨了学生应用能力和实践能力的培养.

关键词： 复变函数 实践性教学 教学改革

近年来，随着科学技术的快速发展，复变函数的相关理论已被广泛应用到理论物理、空气动力学、流体力学、解析数论、信号处理和天体力学等领域.经过大量教学工作者的努力，复变函数课程建设方面已经取得了显著的成就，但是仍然存在许多问题：课程的严密性被过分强调，教师在讲课时过于注重定理的证明过程，很少提到定理的背景知识，更不会讨论如何利用该定理解决现实问题.这种教学方式导致学生对复变函数课程的学习缺乏兴趣，已经不能满足当今学生的需求.

近年来，上述现象已经引起了广大教育工作者的反思，众多国内外学者已经对该问题进行了研究，并提出了一系列改进方法.唐笑敏对复变函数教学过程中存在的问题进行了系统的分析，并且提出了一系列改革设想[1].郑玉辉提出可以通过类比教学与改变考核方式激发学生学习兴趣，以求达到最好的教学效果[2].朱建民和李颖从可视化教学方面对复变函数课程的许多内容进行了分析，指出了大部分内容都可以从几何方面进行刻画[3].文[4]和[5]指出数学建模方法可以作为一种重要的工具，有效提高学生的创新能力.文[6]分析了Matlab软件在复变函数课程教学中的应用.本文将从三个方面讨论复变函数课程的实践性教学改革问题.

1.利用新方法求实积分，培养学生的多元思维能力

反常积分的计算是一个比较复杂的问题，而且没有统一的方法，如果能够利用复变函数的相关理论求解，就会极大地简化计算过程.例如在计算Frensnel积分？蘩■■cosx■dx时，若采用常规方法求解，计算量将会极其巨大，但是如果能够采用复变函数的相关理论求解，那么不仅求解方法多样，问题也将变得较简单，对于该问题我们可以用下面三种方法求解.

1.1利用柯西积分定理求解

首先构造辅助函数f（z）=e■，并取中心角为■，半径为R，起始边在x轴上的扇形的边界C■为积分路径，由柯西积分定理得■e■dz=0，再将左边积分分为三段可以得到：？蘩■■e■dx+？蘩■e■+？蘩■■e■e■dx=0，其中Г■为扇形的曲线弧部分.最后令R→+∞，经过计算可知■e■dz→0，并利用泊松积分？蘩■■e■dx=■，所以？蘩■■cosx■dx=■.

1.2利用Laplace变换求解

Laplace变换可将实函数f（t）转化为特殊的复变函数F（s），是常用的一种变换，具体的变换公式为F（s）=？蘩■■f（t）e■dt，其中实数t≥0，s为复数.为了简化计算过程，可以辅助函数f（t）=？蘩■■cos（tx■）dx，由Laplace变换得

F（s）=■？蘩■■■dy=■■

通过逆变换得：f（t）=■？蘩■■F（s）e■ds=■■.令t=1，可得？蘩■■cosx■dx=■.

1.3利用傅里叶变换求解

在实积分计算过程中，合理利用傅里叶变换同样能够起到化繁为简的作用.为了计算Frensnel积分，首先令x■=t，利用换元法可得？蘩■■cosx■dx=■？蘩■■■dt，对函数f（t）=■（t>0）进行傅里叶变换得：F（w）=2？蘩■■■dt=■，取w=1，则？蘩■■■dt=■，因此？蘩■■cosx■dx=■.

2.在教学过程中穿插数学建模实例，培养学生应用能力

复变函数课程的理论体系非常严密，如果教师严格按照教科书讲解，学生就会感觉枯燥无味，从而逐渐失去学习兴趣。若能够将数学建模实例应用到复变函数的教学过程中，学习的积极性必定就会有所提高.在教学过程中，可以分别从概念、定理及知识应用等方面穿插数学建模案例，帮助学生理解相应知识点.

例如，辐角是复变函数中的一个难点，大部分学生对辐角的性质理解不够全面，为了帮助学生深刻理解这个知识点，可以构造实例：三角形的三个内角和为什么必须等于π？目前关于该问题的证明方法比较多，我们可以利用辐角的性质证明，具体做法是：首先构造三个复数z■、z■和z■，它们对应同一个三角形的三个顶点，其中相应的对角分别是α、β和γ，于是α=arg■，β=arg■，γ=arg■，利用■·■·■=-1，以及辐角的性质得：

α+β+γ=arg（-1）+2kπ=π+2kπ（k=0，±1，±2…）

再根据α+β+γ∈（0，3π）内可知：α+β+γ=π.学生掌握该模型的算法后，必定能够更全面地理解辐角概念，当介绍复导数时，除了利用伸缩率解释外，还可以借助实函数导数的物理意义解释，如质点运动的速度、电流强度等.

保形映射也是较重要的一个概念，研究表明保形映射在电力学中具有重要作用.为了保证学生理解该概念，可以假设有两个同心金属圆柱与z平面的截线为圆周|z|=r■和|z|=r■（0

？覬（z）=■[2lnz-（lnr■+lnr■）]

对于在复变函数教学过程中如何突出数学建模思想，需要相关学者做更深入的研究，需要发现更多与复变函数理论有关的应用实例.若能有效地将数学建模实例贯穿到复变函数理论教学中，则必定能够更好地帮助学生理解相关知识点，通过两者的有效结合，学生的学习兴趣和应用能力必定会有所提高.

3.将实验与理论相结合，提高学生的实际操作能力

随着社会的快速发展及计算机软件的不断改进，很多需要经过复杂计算的理论问题都可以借助计算机实验完成，复变函数相关理论的实验主要借助于Matlab软件完成，该软件具有良好的数值计算功能，如果能在复变函数的理论教学中穿插实验，学生学习的积极性必定就会有所提高.

对于任意一个复数，模、虚部、实部及辐角主值等知识点必须完全掌握，若采用常规的方法计算，则不仅计算过程过于繁琐，而且会花费大量时间，如果使用Matlab软件，上述问题的计算将会变得非常简单，仅需要输入几个命令即可完成，当计算复数z=■的模、虚部、实部及辐角主值时，只要在Matlab软件的编程窗口输入abs（z）、imag（z）、real（z）和angle（z）等命令，即可快速求出real（z）=3.3，imag（z）=9.6，abs（z）=10.1，angle（z）=1.2.另外，对于一些复数形式的初等函数只要借助相应的Matlab命令，也可快速求出相应的结果.

另外，在计算“大范围”积分问题时，恰当利用留数理论可以收到事半功倍的效果，然而留数的计算问题往往较复杂，此时如果能借助计算机软件快速求出留数，将会极大地简化计算过程，如果被积函数是有理分式函数，只需利用留数定理和Matlab软件中的residue命令就能快速求出结果，若被积函数为其他形式，计算过程则稍显复杂.例如在计算■■dz时，直接利用留数定理可知：■■dz=2πi■■

若采用常规的方法计算留数将会非常麻烦，Matlab软件会使计算过程变得十分简单，经过分析可知在圆|z|<1内被积函数仅有一个一阶极点z=0，根据一阶极点的留数的计算规则可得：■■=■[（z-0）■].因此，在计算该留数时，仅需要使用以下Matlab语句：

syms z

limit（（z-0）*（z*sin（z））/（1-exp（z））^3，？謖z？謖，0）

我们立即可以得到■■=-1，于是所求积分的值为-2πi.

总之，Matlab的应用范围较广，不仅上面提到的复数和复积分问题可以利用该软件求解，而且复变函数中的泰勒级数、拉格朗日展开式、Laplace变换及傅里叶变换等问题都可以用该软件完成.教师在教学过程中如果能够借助该软件适当地开展数学实验，那么既可以克服常规教学方法中过于注重理论计算的缺点，又可以通过实验提高学生的学习兴趣.

参考文献：

[1]唐笑敏，刘太顺，胡璋剑.高师院校复变函数课程教学改革的探索[J].大学数学，2011，27（1）：12-15.

[2]郑玉辉，程东旭，钱晓惠.复变函数与积分变换的教学实践[J].宜春学院学报，2012，34（4）：137-138.

[3]朱建民，李颖.复变函数的可视化问题[J].大学数学，2011，27（1）：175-178.

[4]徐龙封.在教学中培养学生数学建模思想[J].安徽工业大学学报（社会科学版），2004，21（2）：114-115.

[5]许先云，杨永清.突出数学建模思想培养学生创新能力[J].大学数学，2007，23（4）：137-140.

[6]麻桂英，陈全新.用MATLAB提高《复变函数》教学质量[J].阴山学刊，2009，23（2）：74-76.

基金项目：国家大学生创新创业项目（201410379021）；宿州学院教学研究项目（szxyjyxm201317，szxyjyxm201319）.