“复合函数增减性”不同阶段的分层教学

程慧刚

【摘要】 进入21世纪，现行高中的各门学科都进行了新教材改革，数学科也不例外，新教材有的放矢的删除了一些传统教学内容，如余切函数、反三角函数的图象与性质等，同时也增添了不少现代数学内容，如三视图、定积分等，新旧内容的更替使得我们对待一些传统数学问题的教学需要与时俱进，更新自己的知识与思想，进行重新认识与思考。“复合函数”的单调性的判断就是值得我们重新认识与商讨的问题。

【关键词】 复合函数 单调性 导数

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）04-034-02

0

复合函数是中学数学教学中经常遇到的一类函数。纵观近十年的高考数学试题，复合函数已成为高考命题的热点。事实上，学好复合函数对深化函数概念，提高学生综合运用函数思想解决数学问题具有重要意义。但高中数学课本中没有对复合函数作全面的介绍，教师虽然就题论题点点滴滴地介绍了一些复合函数的有关知识，但大多数高中学生尤其是高一学生还是感到茫然。因此，在复合函数的教学过程中，教师很有必要对复合函数中有关高考要求的知识点，加以归纳、整理，使之系统化，从而对学生比较全面地掌握复合函数有重要作用。

一、复合函数的概念

已知函数y=f（u）和函数u=g（x），若满足u=g（x）的值域A是函数y=f（u）的定义域B的子集，那么x在定义域内的任意一个值可以唯一地确定一个y值（在其值域内），则y=fg（x）叫做y=f（u）与u=g（x）的复合函数。其中u=g（x）为内函数，y=f（u）为外函数。例如y=lg（x2-2x）可以看作由y=lgu与y=x2-2x复合而成，其中y=x2-2x为内函数，y=lgu为外函数。

二、复合函数单调性的判断方法

1.利用函数单调性定义判断：设函数f（x）定义域为I

若对于I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），就说函数f（x）在区间D上是减函数。

2.利用单调性有关结论

若u=g（x）、y=f（u）对所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=fg（x）为减函数；若u=g（x）、y=f（u）对所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=fg（x）为增函数。

3.求出复合函数的导数，令导数分别大于零、小于零解出x的范围

三、教学策略

先由简单函数图象抽象得出函数单调性概念得到方法1，进而通过讲解例题1，分析单调性判断的实质举例2补充说明，发现方法2，以例3强化理解、识记（均可在高一教学中完成）。待到高二学习导数后，拿出简便方法3，实现对函数单调性判断的彻底掌握。

四、教学实施

例1.讨论函数f（x）=1-x2的单调性。

解：定义域{x|（1≤x≤1}，在[（1，1]上任取x1，x2且x1

f（x2）=1-x22f（x1）=1-x21

则f（x1）-f（x2）=1-x21-1-x22=（1-x21）-（1-x22）1-x21+1-x22

=x22-x211-x21+1-x22=（x2+x1）（x2-x1）1-x21+1-x22

∵x10，另外，恒有1+x21+1+x22>0

∴若（1≤x1

若00，则f（x1）（f（x2）>0，f（x1）>f（x2）

∴在[（1，0]上f（x）为增函数，在[0，1]上为减函数。

例2.求函数y=（12）x2-2x的单调区间。

解：设x2-2x=u，u（x）在x≤1时是减函数，在x≥1时是减函数。由y=（12）u是减函数，因此，当x∈（-∞，1]时，x↑u（x）减u↓y（u）减y↑；

当x∈[1，+∞）时，x↑u（x）增u↑y（u）减y↓；

∴函数y=（12）x2-2x的递增区间为（-∞，1]，递减区间为[1，+∞）.

据例1归纳，①复合函数为两个减函数复合：那么随着自变量x的增大，y值也在不断的增大，函数为增函数；一个减函数与一个增函数复合：随着自变量x的增大，y值也在不断的减小，函数为减函数。

②复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量x的增大，内层函数的y值就在不断的减小，而内层函数的x值就是整个复合函数的自变量x。因此，即当内层函数自变量x的增大时，内层函数的y值就在不断的减小，即整个复合函数的中间变量x不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的y值就在增大。因此可得“同增”。

若复合函数为一增一减两个函数复合：假设内层函数为增函数，则随着内层函数自变量x的增大，内层函数的y值也在不断的增大，即整个复合函数的中间变量x不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的y值就在减小。反之亦然，因此可得“异减”。

例3.求f（x）=log（-x2+4x-3）0.4的单调区间

解：由-x2+4x-3>01

令u（x）=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，可知u（x）在（1，2）递增，在（2，3）递减。

∵0<0.4<1，∴y=logu0.4是减函数，f（x）在（1，2）递减，在（2，3）递增

例4.已知f（x）=8+2x-x2，g（x）=f（2-x2），求g（x）的单调区间。

方法一：设u=2-x2，即g（x）=f（u），利用复合函数单调性的有关结论，进行判断。

解：设u=2-x2，则g（x）=f（u）=8+2u-u2

∵u=-x2+2在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，又y=8+2u-u2=-（u-1）2+9在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数。

当u<1时，有2-x2<1x>1x>1或x〈-1；

当u>1时，有2-x2>1x<1-1〈x〈1

∴g（x）的单调增区间是（-∞，-1）与（0，1），单调减区间是（-1，0）与（1，+∞）.

方法二：直接求出g（x）的解析式求其一阶导数g′（x），令g′（x）>0、g′（x）<0解出x的范围表示为区间即为相应的递增区间、递减区间。

解：g（x）=f（2-x2）=8+2（2-x2）+（2-x2）2=-x4+2x2+8，g′（x）=-4x3+4x

令g′（x）>0x<-1或01.

∴g（x）的单调增区间是（-∞，-1）与（0，1），单调减区间是（-1，0）与（1，+∞）.