在数学技能与数学思想之间

俞正强，浙江省小学数学特级教师，北京师范大学教育家书院兼职研究员，浙江师范大学硕士生导师，浙江省金华市环城小学校长。

“角的度量”这一课时，其基本目标是让学生学会用量角器量角或用量角器画出指定度数的角。其间含有关于角的度量单位与角的度量工具的认识，称为知识。

与这些基本知识、基本技能连在一起的数学思想、方法是什么？结合本人对这一课时的教学，做如下探讨。

一、从角的大小到形的赋值

材料呈现：

问题讨论：

问题1：哪个角最大？哪个角最小？

结论：从①号角到⑤号角，越来越大。

（知识：角的大小跟两边叉开的大小有关。）

问题2：如果用一个数来表示角的大小，你会用哪个数来表示？

结论：①号角可以用数字0表示，因为它没有大小。

（把①号角赋值为0，这对学生来说是自然而然的事，因为①号角没有大小。但在学生的数学发展中，这是一个了不起的节点：因为他们完成赋形以数的创举。数形结合思想，本质上是两件事情，一是赋数以形，一是赋形以数，然后在形和数之间自由

穿行。）

问题3：如果①号角用数字0表示，那么②号角可用数字几呢？

结论1：45。

（此一结论，多为学生已学过锐角、直角等有关角的度数。）

师：同学们，有人说用45°来表示②号角的大小，有不同意见吗？

生：没有。

师：如果我们用10°来表示这个角的大小，可以吗？

生：不可以，因为如果这样的话，全乱了。

生：也是可以的。因为如果这个角是10°的话，那③号角就是20°，从此之后，直角就不是90°，而是20°了。

（全班学生大笑）

生：如果按照老师所说的，那②号角用100°来表示也可以呀。

师：大家认为呢？

生：可以吧，想它是几就是几。

（这一段对话所反映出来的是学生对赋形以数的诧异与好玩。）

问题4：在对这5个角定数字时，你认为最特别的角是哪个？我们这样变来变去，有没有不变的？

结论1：①号角始终不变。它的大小不是由我们定的，始终是0。

结论2：不管我们怎么变，这些角都以②号角为标准，③号为两个标准，⑤号为4个标准。

（数学学习至此，数学已是活的了，学生也已经体会到标准的意义以及标准的影响力。这些东西，是数学中深刻影响一个人思维品质的东西。）

二、度量，是与标准比较的行为

将第一份材料从右到左，不断将小的角与大的角结合，形成如下材料。

问题1：当我们把5个角放置在一起时，原来共有的10条边只剩下5条，还有5条边到哪里去了？

结论：其实有6条边在0这个地方重合了。

（强化0度线，它是所有角共有的一条边，任何一个角均有一条边在此重合。）

问题2：现在黑板上出现⑥角，有谁能把这个角放进这个图中。

结论：顶点在中心点A，一边在0即可。

问题3：这个被放进去的角的大小可用哪个数字表示？

结论：15到18之间。

（度量，本质上是与标准相比较的行为与结果，学生把一个新的角放进这个框架中比较，是件自然而然的事情，没有任何难度。放进去的要点是顶点对着中心点，一边对着0边，技能会慢慢成熟起来。）

三、工具，是对标准的固定与移动

材料1：单圈量角器

问题1：同学们，请看量角器，它与我们黑板上的图有什么不同？

结论1：标准不同，有单位度，中心点为0°，其他都一样。

结论2：黑板上的图不能移动，我们只能用角与它比，量角器可以移动，比较方便。

问题2：你能用量角器去量一个角吗？试试看。

结论：中心点对顶点，0边对角边。

（教师已经不需要教这些技能了，只需要用一个角去比较标准，反过来用这一标准去比较角而已。工具的意义便可以在此体验。）

材料2：双圈量角器

问题1：这个量角器与之前的量角器有何不同？

结论：有内外两个读数圈。

问题2：为什么要用两个读数圈呢？

结论：角可以从右往左不断变大，也可以从左往右不断变大。

（从量角器的内外圈回到第一组材料的另一种序，说明在学生的眼里，量角器已经是一个“活”的工具了。）

四、技能，是自然而然的思想结果

现在，我们重新回顾一下角的度量技能是如何落实的。

（1）角是有大小的。（知识复习）

（2）大小可以用数来表示。（赋值，数形结合可以这样培养）

（3）表示其中一个角，其他角便因此也都能表示了。（标准的意义）

（4）任何一个角，都可以通过与标准的比较确定数值。（度量技能）

角的度量技能，是这一过程中自然而然形成的。对学生而言，这一课时，好像不是从量角器的认识、使用开始，但却以量角器的使用、认识结束。

工具只是工具而已，是一个末，当教学将“末”当成“本”，教学就会变得不是那么一回事了。

五、思想，离不开知识这一载体

纵观小学数学知识学习，数形结合这一数学思想的培养与落实，体会赋数以形的内容十分之多，但体会赋形以数的材料却比较少，而这一课时，是让小朋友体会赋形以数的比较好的机会，对于好的机会，我们绝不能错过。

（责任编辑：孙建辉）