解析几何求最值与柯西不等式的友好合作

段双莲

柯西不等式在高中教材的《不等式选讲》里，一般在高考试卷中是选做题。属于容易题或中等题。可对湖北省高考来说，它是必考的范畴。

而且学生只要掌握了柯西不等式的形式和应用条件，解决一般的求最值是没有问题的，可对于2014年的湖北省第9题，这题是解析几何题，本身就是一道难题，它与柯西不等式结合就更显得高深莫测，学生更是束手无策。那么它们是怎样结合的呢？下面我们一探其真面目。

点评：解析几何与不等式是高考中的难题，难点一是解析几何复杂的符号运算。难点二是用不等式求最值，此题若能写出两个定义式，经过化简得到两离心率的表达式，然后结合柯西不等式就水到渠成了。要求学生能把握这两点之间的联系，而且对柯西不等式的结构掌握得又很牢固，两者的结合简直就是珠联璧合。我们在平时的训练中应多有这方面的结合，解析几何的求最值就不仅只有其他的常规方法，又多了一个帮手——柯西不等式。下面再看几例它们的组合。

例2：等腰直角三角形AOB的直角边长为1，在三角形中任取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形，求这三个三角形的面积的最小值，以及此时点P的位置。

点评：利用柯西不等式的关键构建两个数组的平方和的积式。且只有当不等式的一边取定值时，另一边才有相应的最值，同时要保证等号成立。对于解析几何，需要挖掘隐含条件找到或创造几项的平方和或和的平方为定值，才能用柯西不等式求最值，对学生的能力要求更高。

纵观近几年湖北省高考题，对柯西不等式的考查，年年考而且是一步一个台阶，要求我们在复习备考时加强训练，牢牢地把握柯西不等式的结构特点，以不变应万变。