浅析三角形教学中的分类讨论思想

饶良鑫

摘 要：初中数学中的分类讨论思想是近几年常州市中考的热门考点之一，几乎每年分类讨论思想都有出现在考题中，它是教学的重点也是难点，分类讨论思想不仅在数学学科中涉及，在其他理科中也经常使用。分类讨论思想中蕴含严谨的数学学科特点，也可以锻炼学生的思维和想象力，特别是在考查几何问题时，重点阐述了初中几何教学中的分类讨论思想，三角形问题中的分类讨论频繁地出现在常州中考的压轴题中，它的重要性不言而喻。

关键词：初中数学；三角形；分类讨论思想

一、问题提出

分类讨论思想的基本要求首先是不重复、不遗漏，分类讨论思想可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，提高学生严谨的思维。通过研究发现，学生碰到这类问题常常不知道如何切入，更不知道要分类讨论解答，还有一类学生清楚分类讨论，但是分类不完整，其次分类完整的学生在计算的过程中也会出现一些小问题，而能完整解答的微乎其微。因此，教师教学中对这种解题思路方法的渗透显得尤为重要，学生要从平时的教学中积累和提炼、总结归纳。最后达到运用非常熟练，这将是一个漫长的吸收内化的过程。几何中的三角形中涉及分类讨论思想的题型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形经常按顶角和低角分类、按底边或腰进行分类。直角三角形一般情况是按直角顶点分类。相似三角形中，当出现“△ABC与△DEF相似”或“以点A、B、C为顶点的三角形相似于△DEF ”时，由于点的对应关系不确定，通过分类讨论才能更清晰、更完整地解答。

二、核心概念

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，对培养初中生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到了十分关键的作用。在初中数学教学中我们要时刻渗透分类思想，引导学生多利用分类讨论方法解决问题。

三、分类讨论思想解题的思维过程分析

在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：（1）要明确是否需要分类讨论；（2）确定分类的对象；（3）确定分类的标准；（4）逐类逐级分类讨论；（5）综合、归纳结论。运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因，即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决。大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系。因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般的说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题。

在初中数学教学的过程中逐步恰当地渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，让学生形成良好的数学思维习惯，既是符合新课程的标准，又是进行数学素质教育的一个极好的切入点。数学中的分类讨论思想不但是一种重要的数学思想，而且是一种重要的数学逻辑方法，分类思想不但在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着不可替代的作用。数学中的分类讨论思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类进行研究，从而解决问题的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。

四、实例分析

【分析】分CP=CO，PC=PO和OC=OP三种情况分别讨论即可。在每种情况下分别画出对应的图形，利用三角形相似的原理加以解决，本题对学生的能力要求较高，有的学生望而却步，有的学生可能只想到了其中的一种或两种情况。考虑到题目考查了分类讨论的思想，这样的学生已经是非常了不起了，接下来就要通过一些方法加以解决，笔者认为这道题只是常州中考题中涉及分类讨论思想的其中一例，还有很多就不一一列举。在今后的教学中还要加以提炼和总结，对不同层次的学生在渗透分类讨论思想的教学过程中还需要因人而异，不仅是分类讨论思想是这样，其他初中数学中涉及的思想方法应该加以研究落实。

参考文献：

[1]党中.分类讨论的几点思考[J].中国新技术新产品，2010（15）.

[2]邓风文.如何在初中教学中渗透分类讨论思想[J].中学数学参考，2013（09）.