基于尾指数方法的外汇市场风险度量研究——以美元、港币、日元和欧元对人民币汇率为例＊

潘雪艳，蔡光辉，刘顺祥

（1．浙江工商大学统计与数学学院，杭州310018；2．安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003）

基于尾指数方法的外汇市场风险度量研究
——以美元、港币、日元和欧元对人民币汇率为例＊

潘雪艳1，2，蔡光辉1，刘顺祥1

（1．浙江工商大学统计与数学学院，杭州310018；2．安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003）

汇率；VaR；EVT；GARCH类模型；尾指数

结合Iglesias给出的新的估计尾指数方法和Hill估计尾指数方法，将极值理论和GARCH类模型相结合，分析了2006年1月4日至2013年11月5日期间美元、港币、日元和欧元对人民币汇率的日对数收益率序列，并在不同的方法下分别预测了它们的VaR（风险值）。结果表明对于日元，利用新估计方法预测VaR更合适；而对于美元、港币和欧元，Hill估计法更有优势。

随着极端事件的发生而对整体金融机构的风险产生的重大影响越来越受到重视，很多学者将极值理论引入到针对外汇市场的研究中。Koedijk等（1990），Hols和de Vries（1991），Wagner和Marsh（2005）［1］揭示了利用重尾分布对外汇市场的汇率波动率进行建模的优势。Payaslioglu（2009）利用极值理论中Hill估计法分析了土耳其汇率的波动性，从而预测土耳其是否会发生经济危机或危机是否已经开始。

另一方面，Engle（1982）构建的ARCH模型和Bollerslev（1986）构建的GARCH模型也被广泛的应用于针对外汇市场汇率波动的建模中。Hill（2010）［2］指出Hill（1975）［3］估计对于GARCH模型是稳健的，但Kearns和Pagan（1997），Wagner和Marsh（2005）等学者证明了Hill估计在样本容量比较小时效果不是很好。Mikosch和Starica（2000）［4］利用Breiman（1965）提供的分析混合分布尾部的方法，给出了GARCH（1，1）模型的尾指数应满足的条件，从而为计算GARCH类模型的尾指数提供了方法。在Starica和Pictet（1997），Berkes等（2003）所做的研究以及Glosten等（1993）提出的GJR—GARCH模型的基础上，Iglesias和Linton（2009）［5］给出了一个替代Hill估计的新估计方法，Iglesias（2012）［6］利用上述新的估计方法对外汇市场的7种主要货币对美元的汇率进行了研究，并指出对于英镑对美元的汇率日收益率序列而言，新的估计要比Hill估计优。

由于国外的学者研究外汇市场时，大多选择美元为基准，考虑世界几个主要货币如欧元、英镑、日元、加拿大元等对美元的汇率波动情况，对我国涉外公司和金融机构规避汇率波动带来的风险，没有太多的直接指导意义。从而很有必要以人民币为基准，对主要几种货币的汇率进行研究，为我国政府和涉及外汇业务的机构更好的规避汇率风险提供理论依据。

国内不少学者对我国外汇市场汇率波动率的研究大多采用的是BMM、POT等等传统的极值理论，GARCH类模型，或者是假设残差服从GPD分布的EVT—GARCH类模型等。叶五一，张明，缪柏其［7］使用尾部指数回归方法对沪深300指数进行了研究；苟红军，陈迅，花拥军［8］采用极值理论中的超阈值模型和Copula理论研究了外汇投资组合风险。Yanping Yia，Xingdong Feng，Zhuo Huang［9］结合分位数GARCH模型和极值理论利用、Monte Carlo方法模拟预测了风险值。

单纯的GARCH类模型没有考虑极端值的影响，从而导致这样的研究对极端事件可能导致的风险估计不足，常常会低估汇率波动带来的风险。另外，这些常用的传统极值理论进行研究时需要假设序列尾部是独立同分布的，鲜有将尾部相依性考虑进去，而事实上几种重要外汇对人民币汇率的数据上尾部有一定的相依性；另一方面传统极值理论能适用要求样本量较大，但由于本文采用的数据是以人民币为基准的汇率，合适的样本量远少于以美元为基准的样本量。从而纯粹采用传统极值理论对我国外汇市场的极端风险进行估计不一定合适，为了克服以上不足，本文结合Iglesias（2010）新的估计尾指数方法和Hill（1975）估计尾指数方法，将极值理论和GARCH类模型相结合，分析了2006年1月4日至2013年11月5日期间美元、港币、日元和欧元对人民币汇率的日对数收益率序列，并在不同的方法下分别预测了它们的VaR值。结果表明，由Hausman类型的检验结果可知，对于日元而言，基于Hill（1975）估计尾指数方法得出的估计值应该更准确，即应用一种更加无偏的估计无疑对于预测日元来说更加具有优势；而就美元、港币和欧元而言，使用Hill估计法更合适。

1 模型介绍和参数估计

1．1 GARCH类模型

广义自回归条件异方差（GARCH）模型是在1982年Engel引入的自回归条件异方差（ARCH）模型基础上，由Bllerslev［10］于1986年提出的。它主要是针对波动率建模，解决了残差异方差问题，并逐步形成了以GARCH模型为核心的GARCH模型族，大量实证研究表明对大部分金融数据用GARCH（1，1）模拟效果较好。一个经典的GARCH（1，1）模型的具体形式为：

其中εt是一个白噪声过程。

GARCH（1，1）模型没有考虑到市场有可能存在的非对称性，为了更好地刻画金融时间序列中存在的非对称性，Glosten等（1993）［11］在GARCH模型的基础上，构造了GJR—GARCH模型，很多实践表明这个模型是非常有用的，它的具体结构如下：

该模型中的δγ2t－1l｛γ－1＜0｝可以很好的刻画一些新兴的不成熟市场中正面和负面信息对市场产生的影响的不对称性，即负面信息 （如收益率为负等）对市场的影响会更大些。

1．2 极值理论（EVT）

极值理论 （EVT）是主要用来研究随机变量的极值分布及其特征的理论，对随机变量的分布函数的重尾现象有突出的针对性，它不需要假设总体的分布，利用样本的数据推断出总体分布的尾部特征。将EVT理论应用到风险管理可以弥补传统方法中VaR对极端事件关注的不足，有利于更精确的度量金融极端风险。

在应用极值理论时使用比较多的是BMM模型和POT模型，但BMM模型要求样本容量很大，而且由于最终分析时只取分组后的每组中的最大值 （或最小值），这样会造成数据的大量浪费，即没有充分分析已有的信息，本文考虑到对每种货币采样的数据只有1902个，样本容量不够大，就没有采用BMM模型。Pickands（1975）指出在属于一般极值分布的吸引场内，分布函数超过一定阈值的尾部数据服从广义Pareto分布（GPD），从而产生了POT模型。Leadbetter等（1983）［12］给出在独立同分布的假设下，最大顺序统计量标准化渐近分布是极值分布的充要条件，Leadbetter等（1983）也证明了序列在满足一定相依条件下，最大顺序统计量的标准化渐近分布仍是极值分布，为POT模型的广泛应用提供了理论依据。POT方法中阈值的选择有多种方法，如基于 “平均剩余寿命图”法等，本文参照Iglesias（2012）选取自大到小的0．1T（T为样本容量）个数据为超阈值部分。

本文记POT模型中尾指数为参数κ1，而计算POT模型中尾指数比较经典的方法是Hill估计，记由Hill方法估计得到的各种货币汇率收益率序列的尾指数为是κ1的一个估计值，称为Hill估计值。事实上，Hill估计方法没有利用到汇率收益序列的GARCH结构。Hill方法的具体估计值方法是，首先写出收益率序列γt的顺序统计量：

t1，T≥γ2，T≥L≥γT，T，其中T为样本容量，则由Hill方法给出的尾指数的估计值为：其中m＝m（T）满足若序列γt是i． i．d的且参数由此给出的κ1＞0，则估计值是稳定的、渐近正态的，即：作为尾指数κ1的一个估计满足：

Hill（2010）证明了在经典的GARCH（1，1）模型下，上述

记Starica和Pictet（1997）［13］给出的替代Hill估计的新估计为。Mikosch和Starica（2000）给出了在GARCH（1，1）结构下尾指数应满足的条件。Berkes等（2003）证明了在GARCH（1，1）结构下新估计的渐近正态性定理，Iglesias和Linton（2009）又将此估计推广值由Glosten等（1993）构造的GJR—GARCH模型。下面介绍基于GARCH模型类的尾指数估计的新方法。Breiman（1965）给出一个在处理混合分布尾部时非常有用的结论，具体如下：

定理1［15］设X＝YZ，其中Y是非负随机变量且与随机变量Z独立，若：

Y有正则变化的尾部，记其尾指数为α，存在ε＞0，使得E（Zα＋ε＜∞，

那么X有规则变化的尾部，其尾指数也是α，且有：

P（X＞x）∶E（Zα）P（Y＞x），x→∞成立。

Mikosch和Starica（2000）分析了GARCH（1，1）模型 （见 （1a）（2b）），他们得出在扰动εt弱相依的条件下，序列γt有规则变化的尾部，若记其尾指数为κ，则κ满足方程

由尾指数κ所应满足的方程，通过模拟可以发现，当假定扰动项服从的分布尾部越重则GARCH模型的尾部也会更重，当在模型中减少ARCH效应（即α减小）增加GARCH效应（即β增大）时模型的尾部会减轻。

Mikosch和Starica具体的给出了新估计的方法，他们证明存在一个正常数c0和尾指数κ参数，使得：

为了估计尾指数参数κ，首先给出GARCH（1，1）模型中参数（ω，α，β）的一个估计如最大似然估计则新方法下κ的估计值是方程的解。

该估计被Iglesias和Linton（2009）推广到GJR—GARCH模型中，并利用渐近正态分布理论得到了Hausman检验：在经典的GARCH（1，1）模型下有成立。

1．3 风险值（VaR）的计算方法

我们利用由上述两种方法估计出的尾指数计算外汇市场的汇率收益的VaR值。Iglesias和Linton（2009）给出对于比较小的α，风险值VaR满足等式α＝Pr［yt＞VαRα］＝c0VαRα－κ，从而风险值可以由下面公式给出VαRα＝（c0／α）1／κ，下面给出c0的估计值。

Iglesias和Linton（2009）指出上述可以由以下式子给出估计：

从而VαRα的估计值为：

接下来如果我们使用Hill估计，则对应的估计值为：

2 实证分析

我们使用的数据是外汇市场4种货币：美元、港币、日元和欧元对人民币汇率的日收益率，取样时间为2006年1月4日至2013年11月5日，借鉴Payaslioglu（2009）和Iglesias（2012），本文考虑的收益率是对数收益率，即rt＝log（Pt／Pt－1），其中t＝1，2，L，T。

首先利用ADF（1979）检验对收益率序列进行了单位根检验，拒绝了有单位根的原假设，接受序列是平稳的。图1是4种货币对人民币日收益率图，表1给出了它们一些基本统计量，可以据此初步得出4个序列都存在尖峰厚尾现像、条件异方差以及波动率集聚现象，从而我们选择采用GARCH类模型进行建模。

其次我们利用Hill方法估计了4种货币汇率收益率序列的尾指数κ的值，结果由表3给出。

接着采用Iglesias和Linton（2009）的新方法估计了4种货币汇率收益率序列的尾指数κ的值。在建立GJR—GARCH模型前，通过检验对数收益率序列的标准化后的残差序列rt／σt及其平方的自相关图和偏相关图，发现标准化后的残差平方序列存在显著的自相关性，也就说明了序列存在高阶ARCH效应，故需要采用GARCH类模型进行建模。经过多次试验，并通过AIC准则进行对比，发现GJR—GARCH（1，1）模型（见（3a）和（4b））最为合理，在表2中我们给出了该模型各参数的最大似然估计值。通过对上述模型的残差序列进行条件异方差的ARCH LM检验和观察残差平方的自相关和偏相关图，都可以发现利用GJR—GARCH模型消除了原残差序列的ARCH效应，模型可以使用。随后由（8）给出了新方法估计出的尾指数，见表3。

表1 各种货币对人民币汇率对数日收益率数据统计特征

表2 GJR—GARCH模型各参数估计值

最后我们利用公式（10），（11），（12）和（13），在水平下，我们计算出了的各种货币对人民币汇率日收益率的VaR，详见表3。

表3 尾指数及VaR的估计值（α＝0．001）

对于港币来说，我们发现新方法的估计值在统计意义上几乎为零，这是因为如果数据和模型不匹配，那么 （5）式不一定有解。然而，对于日元新方法估计的尾指数等于2．20，通过观察Hausman统计量值（见（9）式），我们发现采用新方法估计日元对人民币汇率收益率序列的尾指数时，Huasman统计量通过了检验，这样可以从理论上说明应用新方法对日元汇率的风险进行预测是可行的；而且通过与Hill估计得到的VaR进行比较发现使用新方法预测的VaR要小很多，从节约投资成本、提高资本利用效率的角度来看，应用这样一种无偏的估计无疑对于预测日元汇率市场来说更加具有优势。同样的道理，就美元和欧元而言，由Hausman类型的检验结果可知，使用Hill估计法更合适。

综上所述，对于日元来说，我们更倾向于使用 （11）式而不是 （13）式来计算日元汇率风险值。那么，对于余下的三种货币来说，式 （13）是优于式 （11）的。此外，表3也列出了各种货币汇率的VaR在两种不同方法下的估计值 （取α＝0．001）。

3 结论

从实证分析的结果可以看出，对于不同货币的汇率日收益率，结果表明基于Hill（1975，2010）估计尾指数方法得到的四种外汇汇率序列的尾指数差异不大，由Hill方法估计出来的VaR表明，四种货币中日元存在的风险最大，而美元存在的风险最小，这样为投资者和投资机构在进行投资时如何通过选择合适外汇投资组合降低市场风险提供一定的建议。但使用Iglesias和Linton的新方法估计的结果是日元的风险值最小，若根据该方法预测的风险值进行配置风险保证金，有利于提高投资机构的资金使用率，且该方法通过了Hausman类型的检验，故我们更倾向于使用新方法对日元的汇率进行研究。对于日元而言，Hill估计法也许高估了它的风险值。通过对估计出VaR进行比较也可以看出，相对于Hill估计，对于美元、港币和欧元在新估计方法下得到的风险值更大些，过大的估计了潜在的极端风险。而对于日元，采用Hill估计对以人民币为基准的外汇汇率的风险进行估计时，会高估潜在的极端风险。综合以上可以看出，在进行市场风险管理时，采用一些不同的方法进行预测估计风险值，再通过对不同方法得到的预测值比较检验，最终选择一个合适的风险值进行风险保证金配置，从而达到在有效控制风险的前提下提高资本的利用效率，以提高投资者和投资机构的收益。

［1］ Wagner，N．and Marsh，T．A．Measuring tail thickness under GARCH and an application to extreme exchange rate changes［J］．Journal of Empirical Finance，2005，（12）：165－85．

［2］ Hill，J．B．On tail index estimation for dependent heterogeneous data［J］．Econometric Theory，2010（26）：1398–436．

［3］ Hill，B．M．A simple general approach to inference about the tail of a distribution［J］．Annals of Statistics，1975，（3）：1163－74．

［4］ Mikosch，T．and Starica，C．Limit theory for the sample autocorrelations and extremes of a GARCH（1，1）process［J］．Annals of Statistics，2000，（28）：1427－51．

［5］ Payasliog lu，C．A tail index tour across foreign ex－change rate regimes in Turkey［J］．Applied Economics，2009，（41）：381－97．

［6］ Iglesias Emma M．，An analysis of extreme movements of exchange rates of the main currencies traded in the Foreign Exchange market［J］．Applied E－conomics，2012，（44）：4631－4637．

［7］ 邵腾伟，冉光和．基于POT－GPD损失分布的农业自然灾害VAR估算［J］．统计研究，2011，（28）：79–83．

［8］ 苟红军，陈迅，花拥军．基于GARCH－EVT－COPULA模型的外汇投资组合风险度量研究［J］．管理工程学报，2015，（1）：183－189．

［9］ Yia，Y．，Feng X．，Huang Z．，Estimation of extreme value－at－risk：An EVT approach for quantile GARCH model［J］．Economics Letters，2014，（3）：378－381．

［10］ Bollerslev，T．．Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity［J］．Journal of Econometrics，1986，（31）：307－327．

［11］ Glosten，L．R．，Jagannathan，R．，Runkle，D．E．，On the relationship between the expected value and the volatility of the nominal excess returns on stocks［J］．Journal of Finance，1993，（48）：1779–801．

［12］ Leadbetter，M．R．，Extrems and local dependence in stationary sequences［J］．Zeitschriftfur Wahrscheinlichkeitsthorie und Verwandte Gebiete，1983，（65）：291－306．

［13］ Starica，C．，Pictet，O．The tales the tails of GARCH processes tell［M］．Unpublished Working Paper，1997．

［14］ Breiman，L．On some limit theorems similar to the arc－sin law，Theory of Probability and Its Applications，1965，（10）：323－331．

［16］ 陈坚．中国股票市场尾部风险与收益率预测——基于Copula与极值理论的VaR对比研究［J］．厦门大学学报：哲学社会科学版，2014，（4）：45－54．

责任编辑：陆广品

Measuring Value at Risk of Foreign Exchange Rate Based on Tail Index－Taking USD，HKD，JPY and EUR against RMB for Example

PAN Xue－yan1，2，CAI Guang－hui1，LIU Shun－Xiang1（1．School of Statistics and Mathematics，Zhejiang Gongshang University，Hangzhou310018；2．School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu Anhui 241003，China）

exchange rate；VaR；EVT；GARCH－type models；tail index

With the extreme value theory with the GARCH－type models and the new method of tail index estimation given by Iglesias as well as the estimation method given by Hill，analyze the day logarithm yield sequence of the exchange rate of USD，HKD，JPY and EUR against RMB from January 4，2006to November 5，2013respectively and estimates their VaR by different methods．The results show that，for the JPY，the VaR based on the new method of tail index estimation is more appropriate than that based on the method of Hill estimation，but it is opposite for the USD，HKD and EUR．

C812

A

1001－2435（2015）05－0558－06

10．14182／j．cnki．j．anu．2015．05．004

2014－11－06；

2015－06－11

国家自然科学基金项目（11101364，11201421）；浙江省自然科学基金项目（Y6110110）；全国统计科研计划项目（2013LY137）和浙江省高校人文社科重点研究基地（统计学）资助。

潘雪艳（1981－），女，安徽桐城人，博士研究生，讲师，研究方向：金融风险管理、金融统计、金融数据分析建模；蔡光辉（1978－），男，浙江人，教授，博士生导师，研究方向：金融风险管理、金融统计、金融数据分析建模；刘顺祥（1989－），男，江苏镇江人，硕士研究生，研究方向：金融风险管理。