香港两种教材“圆的认识”的比较研究（下）

朱乐平

六、两种教材各是如何引导师生研究直径属性的

香港的小学数学教材与大陆一样，也是通过研究直径与半径的属性及关系来阐述圆的特征。由于2003年的教材关于直径与半径的属性及关系的内容很丰富，所以，笔者把直径与半径属性的研究分成两个问题来阐述。我们先来看关于直径的属性，两种教材分别是如何编写的。

两种教材对直径的研究各有自己的特点。

1985年的教材在给出圆的各部分名称后，出示了一个练习，用于巩固圆的各部分名称，并用度量明确了直径与半径的关系后，开始研究直径的属性，要求学生度量并研究直径的特性。

2003年的教材也是在给出了圆的各部分名称后，研究直径的属性，主要分成以下几个阶段来研究。

第一阶段：教材专门列出小标题，明确指出这一段教材是研究“圆形的直径”，先出示下图，要求学生观察：

在观察上图的基础上，要求学生完成下面的“填填、量量与画画”。

从上面的过程中，我们可以看到学生的活动比较充分。通过观察、度量、画图、比较、交流等活动，让学生对直径的概念得到进一步巩固，对直径的属性有了明确认识。

第二阶段：这一阶段是在研究了半径的属性后，知道了半径与直径的关系，然后要求画画、量量，进一步研究直径的属性，并明确直径是圆周内最长的直线。

第三阶段：在这一阶段中，教材首先出示了“弦”的概念。

然后，让学生通过着色与画平行于直径的弦，观察比较这些弦的长短关系，形成判断后，用填空的形式表达出来。即要求上半个圆中的弦从长到短排列，下半个圆中的弦从短到长排列。

在观察、比较、排列的基础上，再要求学生进行度量，用度量得到的数据，对上面的弦的长短排列的正确性进行验证。最后研究直径与弦的关系。

从上面的两种教材介绍中，我们可以看到，1985年的教材对于直径属性的研究比较简单，而2003年的教材内容十分丰富。

七、两种教材各是如何引导师生研究半径的属性以及半径与直径关系的

1985年的教材在给出了圆的各部分名称后，要求学生看图并填空，再通过度量明确直径与半径的关系。教材如下：

2003年的教材在研究半径的属性时，也与研究直径一样专门单列一节“圆的半径”。整个半径属性的研究过程可以分成两个阶段。

第一阶段：先出示一个画有两条直径的圆，要求学生观察。

然后出示下面的填空题，要求学生通过度量、比较、交流等活动研究半径的属性和它与直径的关系。

第二阶段：教材安排在圆的认识（二）中，在学习了画圆以后，研究相切（外切）的三个圆，圆心的连线组成什么三角形时，进一步用到半径的属性。这是在应用过程中，进一步掌握半径的属性。教材如下：

很显然，学生通过度量、画图可以进一步明确圆的大小是由什么决定的。下面的问题，更可以使学生感受到半径决定圆的大小。

从上面的两种教材介绍中我们同样可以看到，在研究与应用半径的属性时，1985年的教材很简单，而2003年的教材就比较丰富。两种教材在编写画圆方面，既有相同的地方，又有着明显的差异。它们主要有以下几个方面的相同与不同：

（1）两种教材关于画圆的教学内容基本相同，内容编写的前后顺序也基本一致。教材都涉及以下三个方面的教学内容，并根据以下顺序进行编排：①用其他工具画圆；②用圆规画圆；③运用圆规与直尺设计图案。

（2）2003年的教材比1985年的教材教学思路更清晰，解决问题的思路表述更具体、更明白。

从上面的教材介绍中，我们可以看到，从总体上说，2003年的教材对教师与学生的教学过程提示更清晰。也就是说，2003年的教材编者更强调学习的过程。两种教材主要有以下几个方面的差异：

①2003年的教材在给出用不同的工具画圆前，创设了一个“野马情境”，让学生直观地认识到圆的动态形成过程。学生积累的这些感性认识，不但可以使他们进一步理解圆的特征，而且也为他们进一步学习画圆、理解画圆的原理奠定了基础。而1985年的教材就没有设计这样的学习过程。

②1985年的教材先给出了三种工具画圆的图示，再给出了一个思考题：“想一想：用这些方法画圆，有什么限制与不便？”而2003年的教材给出了四种工具作圆的图示，让学生观察后给出了六个思考题。

两种教材不仅在画圆的方法上不同，提出的思考性问题的数量不同，更为重要的是1985年的教材提出的思考题比较笼统，所涉及的范围比较大；2003年的教材提出了六个思考题，这样的问题串对引导学生思考圆的特征、理解画圆的方法及画圆的原理，有着十分积极的意义。比如，教材给出了问题：“哪些画圆的方法或原理与上页野马在围栏内奔跑的情境相似？为什么？”这是一个很有启发性的问题，要求学生与“野马情境”相比较，思考每一种画圆方法的原理是什么，并说一说理由。解决这个问题的过程要求学生观察（不同工具画圆的过程），比较（与野马情境是否相似），思考与表达（为什么相似或不相似）。这是一个学生在数学能力上的发展过程。又如，与1985年的教材的这个思考题相关的内容，2003年的教材出示了4个问题：“根据上题，哪些帮助画圆形的工具，会影响所画圆形的半径或直径的长度？用哪些方法画出的圆形会比较工整？用哪些方法可以调节半径的长度？有哪些方法不可以调节半径的长度？”可见，2003年的教材给出的思考题，为学生的学习提供了阶梯，有利于让学生展开独立思考与小组交流，并从这个过程中获得发展。

③2003年的教材在用圆规画圆时给出了具体的操作步骤，而1985年的教材只有一个用圆规画圆的图示，没有在方法上给出更具体的指导。用圆规画圆看上去是一个简单的过程，其实学生画时常常画不工整。分步给出操作步骤能为学生学习和掌握这种技能起到积极的作用。

④2003年的教材在教学如何用圆规画圆的基础上，还安排了运用圆规作图解决问题的内容，主要是两个方面：一方面是画三个两两外切的圆，并连接三个圆心，判断形成的三角形是什么类型的，如是否是等边三角形等。（详见上文中的第7个问题：关于半径属性的研究比较）另一方面是专门设立了一节“探究与发现”，主要是利用正方形与圆形的关系作圆。