卢里举 高广伟
【摘要】本文建立了综合评价模型。首先建立均值贡献函数模型进行评价;其次,考虑到该模型的不足,利用极差,建立分数百分制转换模型,将5项指标原始分进行转换,并引入层次分析法,对各项指标进行赋权,得到综合评价的最终结果。
【关键词】学生综合评价 均值贡献函数 百分制转换函数 层次分析法 赋权
【基金项目】本文系学院院长基金教研教改项目,项目编号JG201301005。
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2015)03-0243-02
一、问题提出
为了对某年级中20位学生进行综合评价,考察其中主要5项指标:德育、智育、体育、能力和英语四级考试总分(原始的分表此处略去). 然而考虑到每个指标各自的评价系统是不一致的,因此很难通过直接求和或取均值的形式进行综合评定。另一方面,即使是统一地采取百分制计分,由于学科属性的不同、学科所需学时的差异等各种因素,也很难用求和的形式进行评价,这类问题广泛存在,因此建立一个良好的、公平、公正的评价体系是必要的。
二、模型假设
1.待评价的学生数量是有限的,总人数为N;2.综合考察的指标量为P,其中P较大但小于9(如果p超过9,可以考虑利用主成分分析法,将其中若干指标综合成新的指标,以减少评价过程中的计算量)3.每个指标的评价体系之间是相互独立的,互不影响;4.每个指标分数单位不全相同;5.每个指标的评价都能反映出该生在本项指标的真实情况。
三、模型建立于求解
1.均值贡献函数模型 为了让每个指标的评价值具有可加性,需要对原始分值进行无量纲化处理。设xij表示第i个学生的第j指标的原始分数,其中1≤i≤N,1≤j≤p.xj表示第j指标的平均值,则xj=■■xij.对均值贡献函数记为rij,于是可以建立对均值贡献的数学模型:rij=■.这里贡献函数是非负的,即rij≥0对任意的1≤i≤N,1≤j≤p。贡献函数是量纲为1的量,若0
2.基于均值贡献函数建立的综合评价模型 假设,每项指标对综合评价的贡献率是一样的。在此基础上,建立综合评价模型:ti=■■rij.其中:ti表示第i个学生的各项指标平均分。
对所有的指标平均分进行排序,即可得到每个学生的综合名次。
该模型简易方便,容易操作,不会因为所考察的指标、学生数量增多而大量增加计算量。不足在于:(1)如果同一指标下的取值都比较接近时,贡献函数都接近于1,考虑到小数的截尾误差,其结果也就难以区分。容易导致因近似计算而导致结果的不稳定现象; (2)由于计算出来的数量都比较小,其数值容易误读;(3)其结果难于读懂,因此,模型不易进行推广,尤其不易公开公布;(4)每项指标一致看待,这也是有欠考虑的。
四、模型改进
鉴于此,对模型进行改进,利用极差的方法进行改进,并采取百分制系统。设每项指标的分数值是不全相同的,即最大值总是严格大于最小值。(如果某个指标的分数值完全相同,则认为是无效数据)。假定参评者的百分制成绩折合计算后,最低分为60,最高分为100.
引入百分制转换函数:定义uij=■?鄢40+60. 1≤i≤N,1≤j≤p.显然:(1)60≤uij≤100.(2)60=uij?圳xij=■xij.100=uij?圳xij=■xij.(3)ui■j 如果考虑到每项指标影响力是一致的,那么对转换后的分数值可以采取平均分综合评价模型:Ui=■■uij=uij,其评价结果呈现效果更佳。 另外,考虑到每项指标对总评的贡献是不同的。例如,对于不同学科,其要求的某项素质可能会更高,那么在该项目的重视程度就会更高。由此,引入指标项的权重qj,进行赋权综合评价。即综合评价分模型为:Ti=■qj?鄢uij;■qj=1. 对于此,可建立层次分析法模型,对不同的权重进行设置. 1.建立层次分析的层次结构 假设:(考虑到不同院系的具体情况)此处仅以问题中所提到的5项指标作为考察对象。其中目标层:合理分配指标;准则层:学生学习积极性、学风校风建设、整体教学水平、校企合作;方案层:德育、智育、体育、能力、英语。 2.计算相关特征 分别记成对比较矩阵为A,B1,B2,B3,B4,B5. 以A=■为例(此处略去其他的矩阵的相关特征计算),A的最大特征根为4.03414,CR=■=0.0126其对应的归一化特征向量为:w=(0.1842,0.5263,0.2018,0.0877)T.记Wij=(w1,...,wn),则Q=(q1,...,qn)=Wijw.故而有:Q=(q1,...,qn)=Wijw=(0.42,0.23,0.06,0.10,0.19).此外,还应该做总体的一致性检验(此处略去).如果■qi=q■表示第i0指标的贡献是最大的。以本案为例,综合评价中着重强调德育建设。 五、模型评价 利用赋权法进行综合评价,其适用性范围得到极大的推广,然而层次分析法也有其局限性。对于不同的院校、专业、对象等,其成对比较矩阵都将发生变化,即使是同一个院校,在不同的发展时期,其成对比较矩阵也可能变化。因此,权重的设置要依實际情况而定。 参考文献: [1]杨启帆. 数学建模. 高等教育出版社, 2012. [2]韩明等. 数学建模案例. 同济大学出版社, 2012. [3]徐全智等. 数学建模. 高等教育出版社, 2008. [4]姜启源. 数学模型. 高等教育出版社, 2001.