中学数学解题教学与培养学生思维品质的研究

谢芬芳　任北上　刘立明

【摘要】在中学数学教学中，教师的任务不仅仅是传授给学生数学知识，更应该培养他们良好的思维品质 。培养学生的思维品质是教学的精髓与核心，良好的思维品质可以让学生成为学习的主人 。而通过解题教学，教师能够很好地培养学生思维的敏捷性、灵活性、缜密性、批判性和创造性。

【关键词】中学数学 解题教学 思维品质

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）04-0048-03

如今的中学数学教育中，解题教学占据愈来愈重要的地位。而多数教师在解题教学时却仅限于数学知识的传授，传授给学生的仅仅是同类题目的解题方法和技巧，在这种教学方法长期熏陶下，学生也盲目迷信题海战术。虽然解题技能或许有了些提升，但学习成绩往往还是不理想，尤其是数学思维和数学修养更是难以得到提高。认真分析缘由，笔者认为，问题普遍就出在思维品质上。因此在解题教学中，教师不仅仅应该教会学生解题方法和解题技巧，更应该培养学生良好的思维品质 ，使学生能够成为学习的主人！

1培养学生思维的敏捷性

如何进行学生思维品质的培养和训练，我以为首先是思维敏捷性的培养。思维敏捷性是指思维活动的速度或迅速程度 。学生思维具有敏捷性往往表现在能敏锐地抓住问题的本质，擅长选择有用的信息且擅长运用直觉思维并周密地考虑，能够避免走弯路并能在较短时间内给出解决办法，即能够迅速而准确地作出判断或推测 。

教师要在数学解题教学中实现思维敏捷性的训练目的。首先，在讲解数学概念、定律时，要让学生理解其本质，便于记忆及灵活运用。其次，可以针对某些典型题目和学生一起研究是否存在特殊解法；最后，可以要求学生在一定时间内完成相应的练习，提高学生运算速度和解题速度。只有这样，学生才能深度理解数学知识，并能在此基础上快速准确地解答。

例1 等比数列的概念：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比均为同一个常数，那么这个数列就称为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。

在讲解等比数列的概念时，应当在适当时候提醒学生几点：

（1）q 不能等于0：因为等比数列的每一项有作分母的可能，因此每一项均不为0，所以q也不为0；

（2）公比q为每一项与前一项的比，而不是后一项与前一项的比，防止颠倒相邻两项的比的次序；

（3）“从第2项起”的原因是因为首项没有“前一项”，同时应当特别注意：如果一个数列并非从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此數列依然不是等比数列，这时可以说此数列从第2项或第3项起是一个等比数列；

（4）在已知等比数列的和 q的前提下，利用通项公式可以求出等比数列中的任一项；

（5）在已知等比数列中任两项的前提下，使用可以求出等比数列中任意一项。

经过这样的提醒，学生可以更深层次地领会等比数列的概念，解题时候也更易迅速而准确地作出判断。

例2 对于总有f（x）≥0成立，则 .

一般解法

解 当x=0时，∴f（x）=1，无论取什么值，f（x）≥0都成立；当x>0时，可以化为，

设，则，所以g（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，，从而；当x<0即x∈[-1，0）时，可化为，则，

所以g（x）在区间[-1，0）上单调递增，∴g（x）min=g（-1）=4，从而.

又因所求的值应当同时令x=0，x>0，x<0均成立，故取交集得：.

点评：这种类型的题目，学生一般会选择先分离参数，然后转换为函数的最值问题，分情况讨论。但是此时，分离参数有三种可能的情况，其中两种情况要通过求导、研究单调性求最值，运算较繁琐。

2 一题多解，促进学生思维的灵活性

除了培养思维敏捷性之外，还应当培养学生思维的灵活性。思维的灵活性是指能够根据情况的变化及时修正原有的思路和方法[1]35，摆脱常规、繁琐甚至错误的思路和方法，探索正确或更佳的解决问题的途径，即随机应变[3]741。学生思维具有灵活性往往表现在解题的思路开阔，方法多样，解法巧妙。

在数学解题教学中，教师应当鼓励学生积极联想，通过典型例题引导他们根据问题的结构特点进行多角度思考，提倡一题多解。即在解题的时候，要求学生用一种方法把题目解出来后，鼓励他们进一步思考，看看有没有其他的解法，必要的时候可以要求学生少做一些题，但是每道题都要用两种或者两种以上的方法解答 ，从而提升学生思维的灵活性。

例3 实数x、y满足，若x+y-k>0恒成立，求k的取值范围。

方法一（数形结合法）

解 如图1，在平面直角坐标系中，不等式所表示的区域为直线所分平面成的两部分中含x轴正方向的那一部分。

这道题不等式恒成立问题便转化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上的区域.即当直线在与椭圆下部相切的切线之下，且直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△=0可求得k=-3，

所以k<-3时原不等式恒成立。

方法二（三角换元法）

分析 经过观察，可以发现已知条件与有相似之处，这个时候可以考虑用三角换元法。

解 由，

即：，代入不等式x+y-k>0，

得：3cosθ+4sinθ-k>0 ，即k<3cosθ+4sinθ=5sin（θ+），

所以k<-5时不等式恒成立。

点评：一般而言，在遇到与圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常会使用到“三角换元法”。

例4 求函数的值域。

方法一（判别式法）

解

方法二（单调性法）

解 先判断函数的单调性：

任取x1，x2，令0

当0f（x2），此时f（x）在（0，1]上是减函数，

当2

由f（x）在（0，1]上是减函数，f（x）在（2，+∞）上是增函数，

则当x=1时，f（x）有最小值2，即值域为[2，+ ∞）。

方法三（配方法）

解 ，

当时，x=1.

此时，f（x）有最小值2，即值域为[2，+∞）.

方法四（基本不等式法）

解 ，

f（2）有最小值2，即值域为[2，+∞）.

3仔细观察，塑造学生的思维缜密性

教师还应当培养学生思维的缜密性。思维的缜密性是指在解题的过程中，能够认真并且严格地检查条件的可能性及推理的正确性，并敏锐地做出推测或者判断.学生思维具有缜密性往往表现在拿到一道题目，能迅速提取题目的要求和各种信息，同时考虑到各种可能。

面对一道数学题，数学解题教学中，教师应当首先要求学生仔细观察，明确什么是题目要求的，什么是已知条件……其次，在分析题目的过程中，要适当引导，慢慢教会学生透过现象看本质，抓住题目隐藏的数学信息及解决该题目所需要的基本数学关系，认真并严格地检查每一个条件的各种可能性并作出准确的判断 ，使学生思维的缜密性得到提升。

例5 求函数的极大值或極小值.

解 当x>0时，

根据不等式，

则有，

当且仅当即时，.

当x<0时，，

当且仅当即时，.

点评：在不等式中，等号成立的前提条件是且b>0，学生在解题的时候容易忽略这一个前提条件而只对x>0的情况进行讨论，漏掉了对x<0情况的讨论.这就要求学生在解题的时候考虑到每一个条件的各种可能性，以防有“漏网之鱼”而影响答案的准确性.

4 对比分析，提升学生的思维的批判性

其次，思维的批判性也是十分重要的。思维的批判性是指思维活动过程中具有洞察、独立分析和评估的过程.学生思维具有批判性表现在见解独到，敢于怀疑，善于发现并提出问题并发表不同的看法[1]35，同时不易受其他因素干扰，辨识能力较强，能够有意识地去检查结果并及时纠正.

在数学解题教学中，教师可以有意识地去布置一些错误的例子，先引导学生进行错解辨析[6]，发现问题的实质，然后将题目的错解与正解进行对比，思考错解与正解的思路与方法的异同，从而让学生能够在自己解题的过程中，可以及时检查和调整自己的思维活动过程，及时发现错误并且纠正.同时，还应当让学生及时总结自己在数学解题过程中走过的弯路、犯错的原因并吸取教训。这不仅能提升自身的辨误水平，更有助于思维的批判性的培养.

例6 已知函数在x=±1处有极值.

（1）讨论f（1）和f（-1）是函数的极大值还是极小值.

（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求该切线方程.

解（错解） （1）.依题意，.

即，解得.

令f '（x）=0，得x=±1.

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f '（x）>0，所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都是增函数；

当x∈（-1，1），则f '（x）<0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数.

∴f（-1）=2是极大值，f（1）=-2是极小值.

（2）Qf '（x）=3x2-3，∴过点A（0，16），因此过点A的切线斜率为k=-3，∴所求的切线方程是y=-3.

错解原因：第（1）问解答正确了；第（2）问解答错了，错误的原因是误把A（0，16）当成了切点，其实只要把A（0，16）代入原函数，就能很容易地发现其不在曲线上，因此A（0，16）不可能成为切点，所以本题要求切线方程应先求切点坐标。

解（正解） （1）.依题意，f '（1）=f '（-1）=0.

即，解得.

，

令f '（x）=0，得x=±1.

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f '（x）>0，故f '（x）在（-∞，-1）和 （1，+∞）上都是增函数；

当x∈（-1，1），则f '（x）<0，所以f（x）在（-1，1）上是减函数.

∴f（-1）=2是极大值，f（1）=-2是极小值.

（2）曲线方程为y=f（x）=x3-3x ，点A（0，16） 不在曲线上。设切点M（x0，y0） ，点M在曲线上，∴y0=x30-3x0 .

因y0=x30-3x0，故切线方程为∴y-y0=（x30-3x0） （x-x0）

∵点M在曲线上，则有16-（x20-0）=3（x20-1）（0-x0），

化简得x30=-8，即x0=-2.

5 改编题目，提炼学生思维的创造性

最后，进行学生思维品质的培养和训练，还应当培养学生思维的创造性。思维的创造性是指能够根据一定的目的，运用一切已知信息，通过思维去探索、突破、综合、创新，从而发现和解决自己或别人所未解决的问题，从而创造出对社会和个人有价值的思维成果 .学生思维具有创造性往往表现为善于独立思考问题，不拘常法，勇于创新，擅长创造性地提出问题并解决问题 .

教师在数学解题教学中，应当鼓励学生每解答完一道题目后，便在自己的知识水平范围内多次改编题目，如变更题目目的，变更条件等并解答.

例7 原题的定义域为R，求m的取值范围.

解 因为根号内的内容必须大于或者等于0，由题意mx2+8x+4≥0在R上成立，

∴m且△≤0，得m≥4.

变式1的定义域为R，求m的取值范围.

解 在对数函数中，真数的取值范围为大于0，由题意mx2+8x+>0在R上恒成立，∴m>0且△≤0，得m>4.

点评变式1：原题中，考察的是根号内的内容的取值范围，变式 在原题的基础上，增加了考察对数函数中真数的取值范围.

变式2f（x）=log3（mx2+8x+4） 的值域为R，求m的取值范围.

解 令t=mx2+8x+4 ，则要求t能取到所有大于0的实数，

∴当m=0时，t能取到所有大于0的实数，

当m≠0时，m>0且 ，

∴0≤m≤4 .

点评变式2：变式2考察的范围与原题和变式2相比，略有不同且更加广泛，首先需要从f（x）的值域推出f（x）的中真数的取值范围，接着考察一元二次方程组中因为x2系数变化而产生的多种可能，最后再将各种可能的结果合并.

通过改编题目，学生不仅能够将各种不同的数学知识融会贯通，更能促进学生思维的创造性的形成及提升.

结束语

教育有法，教无定法，贵在得法。教师应当在解题教学过程中不断总结、反思、探索与创新，在实践中得出培养学生各种思维品质的相对应的教学方案，应用到日后的解题教学中去，从而有效避免学生盲目使用题海战术成绩依然不理想的结局，并能够不断优化学生的思维品质，引导学生逐步提升自己的思维水平，使学生在学习中越来越游刃有余.

参考文献：

[1] 杨金英.在解题教学中培养学生良好的思维品质[J].西江教育论丛，2005，（2）.

[2] 王芹. 高中数学解题教学与思维品质的培养[J].语数外学习（数学教育）， 2012，（10）：128.

[3] 刘敬. 解题教学中数学思维品质的培养[J].科技信息，2008，（33）.

[4] 仵鋒.浅谈在初中数学教学中学生思维品质的培养[J].科教文汇，2011，（3）（下旬刊）：101.

[5] 陈维兵.浅谈数学教学中学生思维品质的培养[J].读与写杂志，2012，（08）：108.

[6] 黄金华.解题教学中培养学生思维品质[J].数学学习与研究，2010，（03）：30.

[7] 汤淑英，丁一.在数学教学中应如何进行思维能力的培养[J].科技创新导报，2011，（7）：188.

[8] 王 昕.初中数学课堂上需要培养的几种思维品质[J].科教导刊（中旬刊） 2012，（11）：36.

基金项目：

广西研究生教育创新计划资助项目（JGY2014092）； 2012年度新世纪广西高等教育教学改革工程A类项目（2012JGA162）； 2014年校级教学方法改革专项立项项目； 2014年广西师范学院新增博士授权教育学学科建设资助校级科研项目； 2014年度校级精品视频公开课立项项目