浅谈数学转化思想的魅力

白雪峰��

在中学数学解题教学中，如何有效促进学生思维水平的发展和数学素养的提升，提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，是值得数学教师们认真思考和深入研究的重要问题.通过对每年中考试题进行整理、归类、分析和研究，挖掘其中优秀试题所蕴涵的特点，探究其多种解法或证法，并进行适度延伸和拓展，或可使我们对解题教学获得更为鲜活和有益的启示.

下面笔者就以2013年苏州市初中暨升学考试试卷第27题第（1）问为例，谈谈对数学中转化思想的认识.

问题已知：如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.

（1）求证：BD=BF.

（2）略.1本题特点

上述问题是一个证明线段相等的问题，此类问题是平面几何中的基本问题，具有以下三个特点：

首先，这类问题是培养学生学习平面几何入门基本功的重要题型.本题考查基本知识全面，在下面所给出的几种证明方法中应用到了对顶角、余角、全等三角形、相似三角形等相关概念，同时还用到了圆周角定理、弦切角定理以及切线长定理等知识.

其次，它是培养学生良好思维品质的典型问题.在证明本题的过程中，利用了多种添加辅助线的方法，证明方法的多样性很自然地考查了学生思维的灵活性和广泛性.同时，多种不同证法中都蕴含着数学中同一种重要的解题思想，即转化的思想.转化思想不仅是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.

第三，它是培养学生创新意识的基础问题.本题具有一定的生成性，可以通过“分裂”角平分线为“等角线”将本题进行适度地拓展和延伸.2证法赏析所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.下面，一起欣赏几种不同的证法，感受转化思想的魅力.

证法1如，连接OE，

因为AC是⊙O的切线，切点为E，

所以OE⊥AC，∠OEA=90°.

因为∠ACB=90°，

所以∠AEO=∠ACB，

所以OE∥BC，

所以∠OED=∠F.

因为OE=OD，

所以∠OED=∠ODE，

所以∠F=∠ODE，

所以BD=BF.

说明解决圆中有关线段相等的问题，可以利用切线，连接半径，形成直角三角形，构造出一组平行线，进而通过形成等腰三角形证明两条线段相等是一个基本思路，也是添加辅助线的常用手段.此种思路能将证明线段相等的问题转化为证明两角相等的问题.

证法2如，连接BE，

因为AC与⊙O相切于点E，

所以∠BEC=∠BDE.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠DEB=∠FEB=90°.

又因为∠ACB=∠ACF=90°，

所以∠CEF与∠EFC互为余角，

所以∠CEF与∠BEC互为余角，

所以∠EFC=∠BEC.

所以∠EFC=∠BDE，

即∠BFD=∠BDE，

所以BD=BF.

说明连接BE，构成直径上的圆周角（直角），同时形成弦切角∠BEC，从而将∠BDF与∠BFD相等的问题转化为∠BDE与∠BEC相等的问题，进一步利用“同角的余角相等”这一知识得到结论.

证法3如，作EH⊥BD于H，延长EH交⊙O于G.

因为BD为⊙O的直径，

所以GD=DE.

因为AC与⊙O相切于点E，

所以∠GED=∠AED.

又因为∠AED=∠FEC，

所以∠GED=∠FEC，

即∠HED=∠FEC.

因为∠ACB=90°，

所以∠EHD=∠ECF=90°.

所以Rt△EHD∽Rt△ECF，

所以∠EDH=∠EFC，

即∠BDF=∠BFD，

所以BD=BF.

说明过点E作直径BD的垂线，构造Rt△DHE，通过证明它与Rt△FCE相似，得到∠BDE与∠BFD，从而得到等腰△BDF，进而证得BD=BF.

证法4如，过点D作⊙O的切线DG，

与⊙O的切线AC相交于点G，

则有GD=GE，∠GDE=∠GED.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠GDB=90°.

所以∠GDE与∠BDF互为余角.

因为∠ACB=∠ACF=90°，

所以∠FEC与∠BFD互为余角.

又因为∠GED=∠FEC，

所以∠BDF=∠BFD，

所以BD=BF.

說明上述证明方法通过过点D作⊙O的切线，与已知切线AC交于点G，形成了切线长定理的条件，得到了一组相等的角∠GDE=∠GED，再通过对顶角相等和同角的余角相等相关知识，把问题转化，从而得证.

证法5如，连接BE.

因为AC与⊙O相切于点E，

所以∠BDE=∠BEC.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠BED=90°.

又因为∠ACB=90°，

所以∠BED=∠ACB=90°.

所以Rt△BED∽Rt△BCE.

所以∠1=∠2.

在Rt△BED和Rt△BEF中，

因为∠1=∠2，BE为公共边，

所以Rt△BED≌Rt△BEF.

所以BD=BF.

说明利用全等三角形的知识来证明两条线段相等也是一种基本思路.在上述证明过程中，在利用弦切角定理证明了∠BDE与∠BEC相等后，通过相似三角形的知识得到∠1=∠2，这为证明Rt△BED与Rt△BEF的全等创造了重要条件.

证法6如，过点B作⊙O的切线BG，

与⊙O的切线AC的延长线相交于点G，连接BE.

则有GB=GE，∠GBE=∠GEB.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠GBD=90°，

所以∠1与∠GBE互为余角.

因为EC⊥BC，

所以∠2与∠GEB互为余角，

所以∠1=∠2.

以下与证法5相同.

说明上述证明中将辅助线的添加改为过点B作⊙O的切线BG，与⊙O的切线AC的延长线相交于点G，从而利用切线长定理得到等腰△BEG，这与证法4异曲同工.

证法7如，设BC与⊙O相交于点G，

连接DG，BE.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠BGD=90°.

又因为∠ACB=90°，

所以DG∥AC.

又因为AC与⊙O相切于点E，

所以DE=EG，

所以∠1=∠2.

以下与证法5相同.

说明上述证明中通过添加辅助线将∠1与∠2相等的问题转化为它们所对的弧相等的问题，再利用圆周角定理使问题得证.3适度拓展

如，将⊙O的切线AC变化成与它平行的割线，原切点E分裂为割点（割线AC与⊙O的交点）E1、E2，相应的点F则分裂为点F1、F2，BF变化为BF1、BF2.

那么原结论BD=BF会有怎样的变化呢？

事实上，可以猜想结论为：BD2=BF1··BF2.

经过验证，猜想成立，从而得到下面的拓展问题：

拓展问题已知：如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相交于点E1、E2，连接DE1、DE2并延长与BC的延长线交于点F1、F2.

求证：BD2=BF1·BF2.0

证明如0，设BC与⊙O相交于点G，

连接DG.

因为BD为⊙O的直径，

所以∠BGD=90°.

又因为∠ACB=90°，

所以DG∥AC.

又因为直线AC与⊙O相交于点E1、E2，

所以DE1=GE2.

连接BE1和BE2，

所以∠DBE1=∠E2BF2.

因為BD为⊙O的直径，

所以∠BE1D=∠BE1F1=90°，∠BE2D=∠BE2F2=90°.

所以Rt△BE1D∽Rt△BE2F2，

所以BE1BE2=BDBF2.①

又在Rt△BE2D与Rt△BE1F1中，

易证∠DBE2=∠E1BF1.

所以Rt△BE2D∽Rt△BE1F1，

所以BE2BE1=BDBF1.②

①与②两式相乘得到1=BD2BF1·BF2，

所以BD2=BF1·BF2.

说明在上述原问题的拓展过程中，核心的变化是将∠DBF的平分线BE分裂为∠DBF的内等角线BE1、BE2，从而得到关键条件∠DBE1=∠E2BF2.事实上，还可以将内等角线BE1、BE2继续绕着点B反向同步旋转，演变成外等角线，从而将问题做进一步的拓展推广，有兴趣的读者可以尝试研究此时结论会发生怎样的变化.

数学思想方法是数学科学建立和发展的灵魂，也是分析和解决数学问题的核心.在解题教学中，教师要在注重基础知识和基本技能训练的基础上，强调数学思想方法的渗透，使学生在解题活动中深刻体验和感悟数学思想的魅力.在上述问题的解决过程中，主要利用的就是转化（化归）的数学思想，将证明线段相等的问题转化为证明两个三角形全等、构造等腰三角形等问题，这一数学思想方法是解决数学问题的基本套路，也是研究平面几何问题的精髓.综观上述平面几何问题的多种证明和拓展推广过程，师生可以深切体会到一道优秀题目的真正意义和教育价值，那就是此类问题中所凸显的证明思路的广泛性、具体证法的多样性和蕴含思想的深刻性，以及在研究并解决这一问题的整个过程中对师生思维深度和广度的启发性和引领性.

参考文献

[1]2013年苏州市初中暨升学考试试卷及答案

[2]陈琦刘儒德，当代教育心理学[M].北京师范大学出版社，2007年4月第2版

[3]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012年1月

[4]刘凤翥.《课标（2011年版）》的“新理念”新在哪里[J].数学通报，201554（1）：1-3

作者简介白雪峰，男，1972年生，北京人，中学高级教师，北京市优秀教师，北京市特级教师，北京数学会理事.主要从事中学数学教师培训和中学数学教育教学研究工作.现任北京教育学院朝阳分院教师专业发展中心主任、中学数学培训教师.在全国中学数学青年教师教学观摩与评比中获一等奖，主持或参与了国家、市区多个课题的研究工作，多篇论文获得全国和北京市一等奖.近年主编或参编10余部论著，发表数学教学论文30余篇.