不识“庐山”真面目，只缘身在“此山”中

高厚良�ッ飞教�

在现行的初中教材中，由于一些概念在初中阶段不好准确表述，但又要学习与之相关的内容，便采取了一种描述性的方法定义相关概念，如函数、二次根式等.由于没有对概念的内涵及外延做出准确的界定，使得部分初中教师对一些概念产生了认识封闭，对于这样的概念若能跳出初中教材的圈子，换一种视角可能会得到意想不到的收获.本文拟对在初中教师中产生大面积认识封闭的两个概念谈谈自己的看法，以期引起老师们的思考.1 产生认识封闭的概念分析

1.1 完全平方式

先来看这样一个问题：

（2005年山西（大纲）卷第9 题）在多项式4x2+1中添加一个条件，使其成为完全平方式，则添加的单项式可以是（只写一个即可）.

对于这个问题，大部分初中老师认为可以填“±4x”或“4x4”，从而得完全平方式“（2x±1）2”或“（2x2+1）2” ；有少部分老师认为除了可以填以上答案外，还可以填“-4x2”或“-1”，从而得完全平方式“12”或“（2x）2” .第一种观点的老师认为，现行各版本教材均指出：“一个多项式是两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，这恰是两数和（或差）的平方，把形如a2±2ab+b2的式子叫完全平方式” .据此认定完全平方式一定是三项构成，添加“-4x2”后，式子就成为了一个完全平方数，而添加“-1” 后，式子就变成了单项式，成为整式2x的平方，均不符合完全平方式的结构特征.笔者认为此种觀点是对完全平方式这个概念理解不全面，不深刻，把完全平方式与完全平方数割裂开了.

第二种观点是否正确，关键在于完全平方数“1”可不可以理解成为完全平方式，也就是完全平方数与完全平方式之间是一种什么样的关系.如果我们跳出初中现行各版本教材对这个概念的描述，通过工具书查阅相关概念可以发现：如果一个数是另一个整数的完全平方（或如果一个非负数的算术平方根恰好是一个自然数），这个数叫完全平方数；如果一个整式能够写成另一个整式的完全平方，这个整式叫完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的，如x2+2x+1，x2+22x+2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，4x2，1等都是完全平方式，因为他们分别可以写成（x+1）2，（x+2）2，（a+b+c）2，（2x）2，12.

事实上，若非负数A可以写成另一个有理数a的平方，即A=a2，那么我们可以找出两个有理数b、c，使得b=a-c，就有A=a2=（b+c）2，由此可见，A可以视为一个完全平方式，也就是说完全平方数可以视为一个完全平方式，但是，完全平方式却不一定是一个完全平方数，如（2+3）2是完全平方式，而不是完全平方数，显然完全平方式的概念包括完全平方数.基于以上分析，我们可以得出以下结论：

（1）完全平方数可以理解成完全平方式，完全平方式包括完全平方数；

（2）完全平方式可以是单项式，也可以是多项式；

（3）完全平方式可能是二次三项，也可能是更高次的偶次多项式.

1.2点到射线、线段的距离

2014年12月2日，笔者在上海市某中学参加“微视频导学，促进课堂对话的生成”系列主题教研活动期间，Y老师的一则教学片断引起与会老师的极大争鸣.

（师生共同活动得出角平分线性质定理的逆定理“在角的内部（包括顶点），到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”后）

师：请小组讨论：为什么角平分线性质定理中没有强调在角的内部，而逆定理却要强调在角的内部，在外部不可以吗？

（学生分小组讨论并在练习纸上画图）

生1：如，当一个点E在∠COD内部（即图中阴影部分区域）时，它到射线OA、OB的距离相等，显然点E这个点不在∠AOB的平分线上.

师：你找到了一个很好的反例，但老师想问：你说的点E是否可以在∠COD的两边（不包括顶点O）呢？

生1：当然包括，当点E在射线OC、OD上时，它到射线OA、OB的距离都是线段OE的长.

师：完全正确，同学们，除了刚才所说的这个范围，还有没有哪里的点也到射线OA、OB的距离相等，却不在∠AOB的平分线上呢？

生2：如，当一个点E在∠COD内部（即图中阴影部分区域）时，它到射线OA、OB距离相等，但不在角的平分线上.

师：漂亮，由此可以看出角平分线的性质定理的逆定理必要强调在角的内部.

这一教学片断，尤其是对点到射线距离的理解，让与会老师产生了争鸣，就是上海本地的部分数学教师也不认同Y老师的观点.由于现行各版本教材都有点到直线的距离概念（直线外一点到这条直线垂线段的长度，叫做点到直线的距离），却没有点到射线、线段的距离概念.很多初中数学老师一般主观认为点到射线、线段的距离是指这一点到射线、线段所在直线的垂线段的长度.基于此认为，案例中反例所举的点应在∠AOB角平分线的反向延长线上.如果Y老师对点到射线的距离的理解是正确的，那就意味着我们一线数学教师对这个概念产生了大面积的认识封闭呀！

遗憾的是由于各种原因，本人没有得到与Y老师面对面交流的机会，当然这个问题也就没有形成定论.回到本地后，我把这个问题放在了蚌埠市初中数学教师群中，竟然没有一位教师支持Y老师的观点.可仔细一想，上海作为中国教育的先进地区，此次教研活动又是上海的一次市级教研活动，课例肯定经过市、区两级教研员的指点且经过多轮打磨，按理说不可能出现这样的低级“失误”呀，这里一定另有“隐情”.

通过查阅工具书发现：我们常说的“距离”是欧几里德体系的距离.泛函分析中对“距离”是这样定义的：

设X是任意非空集合，对X中任意两点x和y，有一实数d（x，y）与之对应且满足：①d（x，y）≥0，且（x，y）=0，当且仅当x=y；②d（x，y）= d（y，x）；③d（x，y）≤ d（x，z）+d（y，z）.

则称d（x，y）为X上的一个距离.

这种“距离”既包含几何意义上的“距离”，也包含非几何意义上的“距离”.

（1）几何意义距离

在几何中，点与线、线与线、图形与图形间的距离，都是基于“点与点之间的距离”而定义的.①点与线的距离就是该点到线上所有点的连线段中最短的那条线段的长，既包含点到线段、射线、直线的距离，也包含点到曲线（如点与圆）的距离，点与线段、射线的距离既包含点到线的“垂直”的特殊情形，也包含点到线非垂直情形.②任意两个图形（包括空间图形）之间的“距离”是指两个图形中所有点之间线段长度的最小值.如，曲线C1、C2之间的距离，即指连接C1、C2上任意两点的所有线段中最短的那条线段的长.又如，两条相交直线的距离为0.

（2）非几何意义距离

例如：两个集合A={3，2，-1，-3}，B={4，-2}，分别求集合A中各元素与B中各元素的差的绝对值（不计重复分别为1、2、4、5、7），其中最小的1就是这两个集合间的“距离”.

在初中几何中，距离一般指几何意义上的距離，如点到直线的距离，垂线段是直线外一点与直线上所有点连线所成的线段中长度最短的，所以用这个最短的长度定义距离；又如两条平行线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线垂线段的长度，这个垂线段也是两个图形间所有点之间的最短线段.

查阅沪教版教材发现：在2011版（如）、2012版（如）的沪教版《数学》八年级（上）第106页旁批中分别有这样的表述：

教材的这一细微变化说明沪教版教材编写组首先发现了部分老师对这一概念的认识封闭，从严谨的角度对概念进行了修正，也说明了Y老师对“点到射线的距离”理解是没有问题的，上海部分老师不认同Y老师的观点，可能是还没有注意到教材的变化.

再回过头来看一看大部分初中教师对点到线段、射线距离的理解：如，垂线段PQ是点P与射线OA上所有点连线所成的线段中最短的，故线段PQ的长表示点P到射线OA的距离；如、8，垂线段PQ虽是最短的线段，但垂足显然不是射线OA、线段AB上的点，与几何意义上的距离概念不符.基于以上分析，可以得到如下结论：

（1）当垂足在射线、线段上时，垂线段的长即为点到射线、线段的距离；

（2）当垂足不在射线、线段上时，就是离点较近的端点到该点的线段的长度.

当明确了以上结论后，平面上的点到线（包括直线、射线、线段、曲线）的距离就可统一定义为：这点与线（包括直线、射线、线段、曲线）上各点的距离中最短的距离.2两点感悟

2.1不识“庐山”真面目，只缘身在“此山”中

李邦河院士曾指出：“数学根本上是玩概念的，技巧不足道也！”概念是思维的细胞，教好概念是教好数学的内在要求.可在现行教材中，有些概念受限于学生的知识结构与认知能力，在初中阶段不好表述，教材虽采用了描述性的方法，但作为受过专业教育的教师必须理解、掌握，有清晰的思考.要居高临下，从高中、大学等高度来理解概念，抓住概念的本质内涵，清楚概念的外延.只有这样，教学中才不至于把问题说“死”、说“过头”，让学生在后续的学习中有“原来老师教错了”的感觉.经常听到很多老师讨论“y=1是函数吗？4是二次根式吗？线段本身所在的直线是它的对称轴吗……”等问题，我们若是走出“此山”来看待这些问题，是不是会有不一样的收获呢？

2.2教学研究抓“大”也不能放“小”

有人曾对我说，你说的这些问题有研究的必要吗？对于初中生来说并没有太大的意义呀？很多老师都搞不清楚的问题，会用来考查学生吗？是呀，这些问题可能不会用来考查学生，现行很多版本的数学教材也刻意回避此类问题，但这些能作为一线老师对概念产生认识封闭的理由吗？经常听到部分老师对此类问题采用所谓的“模糊处理”的高见，避而不谈，但不知当孩子向你提出此类问题时，你该如何作答，总不能顾左右而言他吧！只有研究透了这些“小问题”，在教学时，采用张奠宙教授提出“混而不错”的方式，才能有效避免教学中此种尴尬.正所谓不积细流无以成江海，不积跬步无以至千里，教学研究需要从大处着眼，突出重点，但是像从宏观上研究教学、写大块论文、著书立说等却不是我们一线教师能轻易完成的.作为一线教师从事研究还是应该从小处着手，关注自己的“教”，关注学生的“学”，切不可忽视点滴的教学研究，也许正是这些点滴的研究引领着自己走向浩瀚的知识海洋.

作者简介高厚良，男，1979年生，中学一级教师，安徽省数学优质课一等奖，蚌埠市骨干教师.近两年在省级以上杂志发表文章10余篇.