基于Van Hiele理论的初中生几何推理能力调查

曾棉炜�ピ�柳芳��

1范希尔（Van Hiele）几何思维层次理论

在有关学生的几何概念发展与学习的研究中，范希尔的几何思维水平体系是最有影响的理论之一.基于格式塔心理学和皮亚杰的发生认识论，范希尔于20世纪50年代末提出几何思维发展水平的理论，认为学生几何思维的发展可以划分为五个发展水平：视觉层次（visual）、分析层次（analysis）、非形式演绎层次（informal deduction）、形式逻辑层次（formal deduction）以及严密性系统（rigor）.

弗斯（Fuys）等人依据范希尔几何思维层次理论，更进一步深入探究学生在每个层次上所能达到的程度，而提出对应几何思维每个层次发展，学生所能表现或达到的具体行为能力.各层次的主要描述如下：

（1）视觉层次：能辩识几何图形；能作图、绘制或复制图形；根据一定的形式来命名或标识图形；能进行比较和分类，并能用口頭语言描述几何图形.

（2）分析层次：能确认并检验图形各组成元素之间的关系；说出各组成元素的名称，并使用恰当的语言描述它们之间的关系；能比较两个图形的异同点；通过实验发现特殊图形的性质并进行归纳；能利用图形的已知性质或观察隐含的性质去解决几何问题.

（3）非形式演绎的层次：能辨认某类图形的性质，并检验这些性质的充分性；形成并使用某类图形的定义；能提出非形式化的论证；能非形式地辩识叙述及逆叙述之间的不同；不了解定义及基本假设的必要性；没有建立定理网络间的内在关系.

（4）形式逻辑的层次：能辨认出形式定义的特性和等价的定义；在公设系统下，证明层次三所说明的定理；学生在一公设系统下，建立定理和定理间的关系网络，了解公理、公设、定理、定义、未定义名词以及证明的相互关系和角色，了解定理与逆定理的区别和证明的充分与必要条件，能写出逻辑证明.

（5）严密性系统的层次（逻辑法则本质）：在不同的公设系统下，学生能严格地建立定理，并分析比较这些系统；找出解决一类问题的一般性方法；比较不同公设系统，并自觉探讨公设的变动对结果的影响.

范希尔的研究给予我们的启示是：影响学生几何思维能力发展的主要因素并非是年龄或生物成熟度，而是与教学有着密切的联系；学生几何推理发展的思维过程是可测的，具有阶段性，每一层次都有其专属的阶段性语言符号.

2研究的设计

2.1研究工具

在芝加哥研究计划中尤西斯金（Usiskin）等人依据范希尔几何思维理论模式中推理层次一至五的表现情形，编制相关测验工具，可探讨研究样本的几何推理能力，其编制测试题时反映的受测者表现特征与弗斯等人对于范希尔几何思维层次的具体描述相一致.本研究采用尤西斯金测验工具进行调查，包括25道选择题，分属五个范希尔几何思维发展层次，每个层次有五题.

2.2研究样本

为使调查结果具有一定的说服力和推广性，在选择研究样本时考虑所选样本必须具有一定的代表性，且从不同地区（包括城市和郊县）选取同一层次上的学校，便于对结果进行比较分析.本研究选取不同地区四所初中学校八年级的学生进行调研，正式施测总样本数为397个，有效样本为371个，有效率为9345%.选取的人数分布情形如表1.

县市学校人数男女合计班级类型甲市A校454792数学能力分组后的平行班乙县B校504499数学能力分组后的重点班丙市C校484593数学能力分组后的重点班丁市D校464692数学能力分组后的平行班合计371

2.3研究结果

2.31Van Hiele几何推理各层次表现

表2“Van Hiele几何推理能力测验”各题正确率

从结果看来，前三层次上的正确率较高，均大于80%，而第五层次上的正确率只有2087%.可以发现，通过率较低的第11、14题均是逻辑性较强的包含关系推理题，学生平时在学习中很少遇到类似的题目，而处于第五层次的21题得分率最低，此题要求学生对现学几何体系有充分的认识和宏观的把握之后才能够解答，将熟悉的概念在另一几何系统中重新下定义，学生并没有跳出固有概念的限制去根据新的定义来作出判断.

2.32几何推理层次界定

本研究采用五分之三的标准，以某一水平层次平均达到60%作为达到该水平层次的标准，由此计算所有样本各层次通过比例，如表3所示.分配层次时采用加权计分，所有的样本经加权后计算得分情形，层次分布相对次数折线图如图1.

为进一步了解学生在几何推理层次的分布情况，对学生所属几何推理层次进行界定，采用单一样本t检验分析，分别以检定值3和4（即层次三和层次四），探讨所有学生的分布情况，检定结果摘要如表4，说明受试者的几何推理能力高于层次三但是未达到层次四.

综合以上发现，经过初中阶段七八年级的几何学习，虽然有些学生无法达到几何推理层次四，但对于层次一至三的几何概念都已熟悉，所以学生若未能达到第四层次（形式逻辑推理），也多半都能达到第三层次（非形式演绎）.

2.33学校差异、城乡差异

由于所有样本在视觉和分析层次通过率很高，因此在进行学校差异比较时只针对层次三至层次五三个高层次思维进行讨论.由上表可看出，四校的总正确率相差不远，由高到低依次为C校、D校、B校、A校.表现最好的C校主要是在层次五上有较高的正确率，而层次五上的题目都是较为抽象，必须对数学本质和思想内涵有一定认识才能做好的题目，按照弗斯针对几何思维层次五的描述，学生能在不同的公理系统下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较.所以C校在培养学生数学思想、注重知识本质方面作出了一定成绩.

不同学校受试者的层次分布百分比直方图如图2，进一步通过卡方检定表明不同学校的学生在几何推理层次的分布有显著性差异（χ2=52778，P=.000）.

图2各校层次分布百分比直方图

综合以上发现，由于丙市C校的受测样本是能力分组后的重点班学生，因此在此测验的表现明显优于其他各校，而丁市D校选取的样本虽然为能力分组后的平行班学生，但表现并不逊于乙县B校的重点班学生，说明不同地区存在着城乡差距，不同地区的文化、语言的差异会影响学生阅读能力等方面的差异，从而造成不同地区学生在几何推理层次测验的表现有所差异.

2.34性别差异

以性别来看，在层次三和五上，男生正确率比女生高，而总正确率是女生略高于男生，但是通过独立样本t检验表明男女生在正确率上没有显著性差异（t=-0714，P=0235）.进一步对测验结果进行二因子变异数分析，可以看出学校与性别之间无交互作用.3结论

（1）初中學生对于逻辑性较强的包含关系推理题容易出错，对现学几何体系缺乏宏观把握，对新的几何系统下的重新定义难以作出判断.

（2）初中生在几何推理前三个层次有较高的正确率，通过单一样本t检验表明学生在几何推理层次分布上均高于层次三但未达层次四，即学生的几何推理能力介于非形式演绎与形式逻辑推理层次之间.

（3）不同学校间在各层次上的正确率由高到低依次为C校、D校、B校、A校，进一步通过卡方检定表明不同学校的学生在几何推理层次的分布有显著性差异（χ2=52778，P=.000），并且不同地区存在着城乡差距.

（4）通过独立样本t检验表明男女生在正确率上没有显著性差异（t=-0714，P=0235）.进一步对测验结果进行二因子变异数分析，可以看出学校与性别之间无交互作用.4发展学生几何推理能力的策略

按照皮亚杰的儿童认知发展四阶段，学生在11，12岁以后应该逐步达到形式运算阶段，能够在更大范围内进行逻辑推理，我国初中阶段（7—9年级）几何课程目标要求学生学习过第三学段几何课程后，应可达到形式逻辑推理层次，但本研究结果显示学生几何推理层次介于非形式演绎和形式逻辑推理之间，学生还没有完全具备形式逻辑思维，因此发展学生的几何推理能力显得尤为重要，下面主要从教材和教学方面进行探讨.

一方面教材编写需要增加数学知识的系统性和连贯性，把握知识螺旋上升的尺度，合理安排从合情推理到演绎论证之间的过渡.重视发展学生的综合推理能力，既要重视合情推理归纳、猜想的功能，又要强调演绎推理的必要性和重要性，避免出现把只通过合情推理而没有经过严格论证的结论当作定理使用的情况，让学生从数学本质上去理解概念的形成.城乡差异会造成学生阅读等方面的差异，因此教材设置时也要针对学生的文化水平、城乡差异及语言习惯等加以考虑.

另一方面在数学教学中需要注意培养学生的阅读素养，针对文字叙述题和论证层次题加以指导，帮助学生分清题目的逻辑关系，在教学设计时加强学生的逻辑论证层次的概念.抓好定理教学，对于每一个定理，必须认清它的题设、结论、图形以及它的地位、作用，真正弄懂其内涵和外延，从而使学生形成自己的知识网络.在教学中教师适时向学生传递数学思想，尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度，以适应更广泛的范围.

参考文献

[1]Ralph W.Tyler， Conversation with one of the authors，1986，April 16，49：479-502.

[2]Fuys， D.， Geddes， D.， &Tischler， R. The van Hiele modelof thinking in geometry among adolescents. （Journal forResearch in Mathematics Education Monograph No. 3）.Reston， VA： National Council of Teachers of Mathematics. 1988.

[3]Usiskin， Z. van Hielelevels and achievement insecondary school geometry.（Final report of theCognitive Development and Achievement in SecondarySchool Geometry Project.） Chicago： University of Chicago. 1982. （ERIC Document Reproduction Service No.ED220288）.

[4]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2002.6.作者简介曾棉炜，男，广东汕头人，1986年生，硕士，中教一级.曾获深圳市高考工作先进个人，龙岗区青年教师基本功大赛二等奖.

袁柳芳，女，广东兴宁人，1986年生，硕士，中教一级，龙岗区教育均衡化、优质化、现代化发展行动研究项目课题主持人，青年教师基本功大赛一等奖.