2015年福建省高考数学试题的解法赏析

题目 已知a>0，b>0，c>0，函数f（x）=x+a+x-b+c的最小值为4.

（Ⅰ）求a+b+c的值;

（Ⅱ）求14a2+19b2+c2的最小值.

（2015年福建省高考数学试题）

本题考查了绝对值函数最值的求法及其满足约束条件的多元函数的最值问题的解法，这类问题的解决入口宽，难度小，只要认真审题仔细推敲，便会找到多种解法，这充分体现了高考试题考查学生掌握数学思想方法的功能.对于第（Ⅰ）小题我们利用绝对值的性质易得a+b+c=4，下面笔者给出第（Ⅱ）小题的九种解法，供大家参考.

方法1 柯西不等式法

分析 观察条件，联系所求，其结构与柯西不等式一致，因此本题最自然的方法是“凑”成柯西不等式的形式.

由第（Ⅰ）小题的结论得a+b+c=4，于是可利用柯西不等式，得（14a2+19b2+c2）（22+32+12）≥（a+b+c）2，因为a+b+c=4，所以14a2+19b2+c2≥1614=87.即当12a2=13b3=c1时取等号，代入条件a+b+c=4得a=87，b=187，c=27.故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 柯西不等式具有结构对称、应用广泛的特点.通过柯西不等式可使解决问题的过程简便，解答通俗易懂，体现出“不等”与“等”的辩证思想.此法值得推广.

方法2 基本公式法

因为x21y1+x22y2+x23y3≥（x1+x2+x3）2y1+y2+y3，所以a24+b29+c21≥（a+b+c）214=1614=87，当且仅当a=87，b=187，c=27时，取等号.故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 上面的公式是比较常用的基本公式，在选学不等式模块中记住一些常用的基本公式，会给解题带来很大的方便.

方法3 基本不等式法

分析 根据条件的特征，通过待定系数，利用基本不等式法实施多元式的变新，在“不等”中挖掘“等”的思想来处理.

因为（14a2+λ2）+（19b2+μ2）+（c2+γ2）≥λa+23μb+2γc，取等号当且仅当a=2λ，b=3μ，c=γ且λ=23μ=2γ，代入a+b+c=4，解得λ=47，μ=67，γ=27.即a=87，b=187，c=27时，有14a2+19b2+c2≥87，所以14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 通过待定系数，寻找基本不等式成立的条件是解决满足一定约束条件的多元式最值问题的常用方法.利用这种方法完成在“不等”中挖掘“等”的思想，从而揭示问题的本质.

方法4 构造向量法

分析 根据题设的条件与所求结论之间的关系，若想到构造空间向量实施转化，会使问题的解答水到渠成，一目了然.

设a=（a2，b3，c），b=（2，3，1），则由|a·b|≤a·b得a2·2+b3·3+c·1≤a24+b29+c2·14，即a+b+c≤14·a24+b29+c2，所以当且经当12a2=13b3=c1时取等号，代入条件a+b+c=4得a=87，b=187，c=27.故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 通过构造向量，利用向量数量积不等式m·n≤m·n求不等式最值问题，计算量小，过程简明扼要.

方法5 主元配方法

分析 试题中有三个变量，我们在解题时可以选择一个作自变量，其它的两个变量看成参数，则可以使问题的解决逐步清晰明朗.

因为a+b+c=4，所以c=4-（a+b），于是14a2+19b2+c2=14a2+19b2+（4-a-b）2=

54（a+4b-165）2+1445（b-187）2+87≥87，当且仅当a+4b-165=0，b=187，代入c=4-（a+b）得a=87，b=187，c=27时，取等号.故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 对于满足一定条件的多元式，我们通常采用代换消元，然后选取主元配方，便可轻松求得多元式的最值.

方法6 构造空间距离法

对于空间中任意三点A、B、C，有AB-AC≤BC≤AB+AC（其中当且仅当A、B、C共线时，仅有一个等号成立），我们称之为空间三角形不等式.

分析 将式子14a2+19b2+c2变形为12a2+13b2+c2恰好是空间距离的模型，而a+b+c应为三个平方和展开式的中间项，通过观察找出点B（-1，-32，-12），从而实施问题的解决.

设A（12a，13b，c），B（-1，-32，-12），O（0，0，0）.于是OA=14a2+19b2+c2，OB=1+94+14=142，

AB=（12a+1）2+（13b+32）2+（c+12）2.由于AB2≤（OA+OB）2，代入整理得

4≤214a2+19b2+c2·142，

即14a2+19b2+c2≥87，由O、A、B共线易知，当且仅当a=87，b=187，c=27时等号成立，故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 根据式子的结构特征，构造空间距离，利用三角形不等式实施“不等”与“等”的转化，思路简洁，方法优美，值得推广.

方法7 均值代换法

由a+b+c=4，可设a=43+λ，b=43+μ，c=43-（λ+μ），其中λ，μ>-43，λ+μ<43.则14a2+19b2+c2=14（43+λ）2+19（43+μ）2+（43-λ-μ）2=54（λ+4u-45）2+1445（μ-2621）2+87≥87，当且仅当λ=-421，μ=2621，即a=87，b=187，c=27时取等号，故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 对于满足约束条件n元a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an=s（s为定值）的一类数学问题，我们可令ai=sn+ti（i=1，2，…，n），其中t1+t2+…+tn=0.实施代入转化，进而求得多元式的最值.

方法8 数形结合法

设x=12a，y=13b，r2=14a2+19b2+c2，于是有2x+3y=4-c（看做直线方程），x2+y2=r2-c2（看做圆方程）.因为直线与圆有公共点，所以c-413≤r2-c2，化简得r2≥1413（c-27）2+87≥87，当且仅当a=87，b=187，c=27时等号成立，故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 根据问题的结构特征，作适当的变换，转化成几何图形中直线与圆的位置关系来求解，别具一格.当然，本题也可以通过再令z=c，于是问题转化为平面2x+3y+z=4与球面x2+y2+z2=r2有公共点的问题，利用点到平面的距离与球半径的关系进行求解.

方法9 三角换元法

设14a2+19b2+c2=r2（r>0），令c=rsinβ，13b=rsinα·cosβ，12a=rcosα·cosβ，其中α，β∈[0，π2].代入a+b+c=4中变形得1r=2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinα4.因为β∈[0，π2]，所以cosβ≥0，于是2cosα·cosβ+3sinα·cosβ=13cosβ·sin（α+φ）≤13cosβ，（其中tanφ=23）.

所以2cosα·cosβ+3sinα·cosβ+sinβ≤13cosβ+sinβ≤14，所以1r≤144，即r2≥87，当且仅当a=87，b=187，c=27时等号成立，故14a2+19b2+c2的最小值为87.

评析 这里实施的三角换元其本质是空间极坐标系也叫球坐标系，数学选修《坐标系与参数方程》中有所介绍，若将本题中12a、13b、c分别看作x、y、z，令14a2+19b2+c2=r2（r>0），那么问题转化为球面方程，可选用空间极坐标系法求解.

一个好问题犹如一粒种子，只要能像园丁对这颗种子悉心浇灌给予养分一样对待这个问题，不断从不同角度去探讨，这个问题就像这颗种子一样能不断生长，结出令人喜悦的果实.而一个问题的解答，犹如一盏灯照亮条件和结论之间本来模糊的关系，我们在研究问题时，尽量去挖掘问题的本质，关注解法的多样性，犹如寻找更明亮的灯来照亮更广阔的空间.

作者简介 王伯龙，男，1965年8月生，宁夏彭阳县人，中学数学高级教师，自治区级骨干教师，近年来在省级及以上数学期刊上发表论文80多篇.