高中数学创新题：概念与编制

1 高中数学创新题的概念

为了有利于选拔创新型优秀人才，数学高考确定以能力立意的命题思想，强调数学能力的考查，全面检测学生的数学素养.同时，高考数学试题的内容、形式等都发生了明显的变化，出现了很多背景新颖、内容丰富、形式多样、测评理想的创新题，突出对学生创新意识、创新能力的考查.随着课程改革的深入和高考考试改革的需要，创新题会成为一种趋势和导向.

高中数学创新题是指根据数学课程标准的理念和要求，依托一定数学命题原理和技术，旨在培养或诊断考生数学创新意识与创新能力，在题目背景、题目形式、题目内容、解题方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学题[1].

我们认为，高考数学创新试题是高中数学创新题的一种形式. 除具备一般数学题的特点外，数学创新题还有一些其他比较突出的特点，如立意的鲜明性、背景的新颖性、形式的灵活性、内容的综合性、方法的多样性[1]. 另外，它还具有鲜明的导向功能、测评功能和诊断功能.

为了更好地实施课程改革，数学教师应积极地探索和研究数学教学，从而更好地完成教育教学任务和提高自身的数学专业素质.在教学中，教师可以编制、使用数学创新题，提高课堂效率，培养学生创新能力和创新意识.

2 高中数学创新题的编制原则

命题是数学教师的一项重要的、经常性的工作.为了数学教学的需要，教师可以编制、使用一些数学创新题，掌握和提高教学效果.数学创新题的命制，要在立足考查数学知识、思想方法的基础上，突出其创新性、新颖性，在实际的编制过程中要遵循以下的原则.

2.1 符合数学课程标准的理念和要求

高中数学课程标准提出了思想丰富、内容充实的课程基本理念，其中明确指出“注意提高学生的数学思维能力”、“发展学生的数学应用意识”、“建立合理、科学的评价体系”，这些为我们数学创新题的编制指明了方向.因此，在命题中坚持课程标准的依据地位，体现课标理念，遵循课标要求.

2.2 数学命题一般性原则

学科性原则、科学性原则、准确性原则、公平性原则和整体性原则是数学题编制的5个一般性原则.创新题作为一种新型数学题，在编制中一定要以此为准则，在实践中寻求突破，从而编制出有价值、高水平的数学题.

2.3 创新性原则

创新性是创新题的重要原则.在编制数学创新题时，要在题目背景、题目形式、题目内容、解题方法等方面深入挖掘创新点，体现创新特点，保证其在培养或诊断考生数学创新意识与创新能力等方面的价值.

3 高中数学创新题的编制方法

数学题的编制方法比较多，这里主要介绍改编题和原创题两类题的编制方法.

改编题是在现有的题目的基础上，通过适当的改造，使之变为新题.原创题是指基于对某一数学问题深入研究而编制的新题.

31 背景创新法

数学题一般都需要选择一定的背景.优良的背景，能够使学生耳目一新，调动学生做题的积极性，促进学生愉悦地完成做题.我国的数学题背景一般是数学学科背景居多.但是国际典型测试PISA、TIMSS试题的背景却十分丰富，很多是真实的生活情景，纯粹的数学问题并不是很多.因此，面对课程改革需要，多元化的背景编制是数学题编制的一个方向.

在数学题编制中，我们可以选择高等数学背景、竞赛数学背景、数学史背景等数学背景，也可以选择生活现实（生活情境）、其他学科现实（物理情境）为背景，增加或者改变条件的背景，从而实现数学题的背景创新.

（1）改编题

例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=3，a7+a8+a9=4，则a5=    .

变式1 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为    升.

变式1以数学史上的《九章算术》为背景，背景之巧，让人耳目一新.

例2 已知函数f（x）=2x+2x，x∈12，2，则f（x）的值域是    .

变式2 如果对于函数y=f（x）的定义域内的任意x，都有N≤f（x）≤M（M，N为常数）成立，那么就称f（x）为可界定函数，M为上值界，N为下值界.设上值界中的最小值为m，下值界中的最小值为n，给出函数f（x）=2x+2x，x∈12，2，那么m+n的值（  ）.

A.大于9 B.等于9 C.小于9 D.不存在

变式2首先介绍了高等数学中“上（下）确界”的概念，然后提出例2中的问题，突出考查学生数学阅读能力.

例3 不等式x（40-x）≥300的解集为    .

图1

变式3 在如图1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（  ）.

A.[15，20] B.[12，25]

C.[10，30] D.[20，30]

变式3以实际生活的问题为情景，突出考查了学生的数学应用能力.

例4 在△ABC中，若a=2，b=4，∠C=120°，则c=（  ）.

A.6  B.2  C.25  D.27

变式4 一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（  ）.

A.6   B.2   C.25   D.27

例4是解三角形问题，变式4在此基础上“包装”了一个物理力学的背景，增添了题目的看点.

（2）原创题

例5 平面内到两个定点的距离之比为常数k（k≠1）的点的轨迹是阿波罗尼圆.曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离之比等于常数a（a>1）的点的轨迹，下列选项正确的是（  ）.

A.曲线C关于坐标原点对称

B.曲线C关于y轴对称

C.曲线C关于x轴对称

D.曲线C过坐标原点

高中数学圆锥曲线分别介绍了到两个定点的距离和、差的点的轨迹，没有提到之比（比不为1）的曲线方程.实际上，在数学史中的确存在这种曲线，即阿波罗尼圆.例5以此为背景，凸显文化价值.

32 形式创新法

数学题的形式包含数学题的呈现方式、设问方式以及题型.改变数学题的形式，是数学题创新的重要方法.

数学文字、符号、图表的多元化的呈现，能够体现数学语言的丰富多彩，增加学生阅读数学、欣赏数学的信心.基于不同需要的差异，设问方式不同.目前，高考数学坚持分步设问、分散难点的做法，各类题型呈现“入手容易、拾级而上、螺旋递进”的风格.这对于高中数学题的创新提供了一个新的思路.

另外，随着课程改革的推进，传统的数学题型已经不能适应课程改革中教育评价的要求，一些新的题型如复合型选择题、复合型填空题等在高中数学测试和检测中广泛出现.

（1）改编题

例6 设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立.如果实数m、n满足不等式

m>3，

f（m2-6m+23）+f（n2-8n）<0，那么m2+n2的取值范围是（  ）.

A.3，7     B.9，25

C.13，49  D.9，49

变式5 设f（x）是定义在R上的函数，对于x，y∈R，

（f（x）-f（y））（x-y）>0，且图像关于点（1，0）对称.如果实数m、n满足不等式m>3，

f（m2-6m+23）+f（n2-8n）<0，那么m2+n2的取值范围是    .

变式5改变了例6中“增函数”和“f1-x+f1+x=0”的形式，增加了题目的深度，考查学生对数学基本知识的掌握程度.

例7 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2，求数列{an}的通项公式.

变式6 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.

（Ⅰ）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列;

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.

变式6分解了例7的求解过程，增加了对等比数列概念的考查，也有利于不同水平学生的甄别.

例8 设函数D（x）=1，x为有理数

0，x为无理数， 则下列结论错误的是（  ）.

A.D（x）的值域为{0，1}

B.D（x）是偶函数

C.D（x）不是周期函数

D.D（x）不是单调函数

变式7 设函数D（x）=1，x为有理数

0，x为无理数，有如下四个命题：

①D（x）的值域为{0，1};

②D（x）是偶函数;

③D（x）不是周期函数;

④D（x）不是单调函数，则真命题的个数是（  ）.

A.1  B.2  C.3   D.4

变式7一改例8的的设问方式，增加学生思考问题的次数，降低了猜选选项得分的情况.

（2）原创题

例9 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数f（x）=3+log2x的图象与g（x）的图象关于    对称，则g（x）=    .

本题是开放性的题目，设问方式要求两个空白具有逻辑的一致性.

33 内容创新法

数学题内容的创新，不仅是数学测试兼顾范围和题量的必然选择，也是高中数学课程理念和体系变化的最终结果.

高中数学知识网络完备，彼此联系纵横交错.传统上的知识联系，如函数、不等式、数列的密切关系，早已成为高中数学题中综合题的主要来源.随着课程改革的实施，新的课程理念提出了“构建共同基础，提供发展平台”，高中数学课程建立了“5个模块，4个系列”的结构体系，大大丰富了高中数学的知识内容，为学生更好地学习数学和发展数学素质提供了坚实的基础.

数学课程理念和体系的变化，能够为高中学生呈现更多数学知识的相互联系，能够让学生认识到统一的数学知识体系.这些也为数学题的内容创新提供了基础和方向.

（1）改编题

例10 若实数s、t满足不等式s2-2s≥t2-2t，则当1≤s≤4时，ts的取值范围是（  ）.

A.-14，1   B.-12，1

C.-12，1   D.-12，1

变式8 定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=fx-1的图像恒关于1，0成中心对称.若如果实数s、t满足不等式fs2-2s≤-f2t-t2，则当1≤s≤4时，ts的取值范围是（  ）.

A.-14，1   B.-12，1

C.-12，1   D.-12，1

变式8在例10的基础上综合了2个知识内容，即函数单调性、对称性.

（2）原创题

例11 已知抛物线C：y=（x+1）2与圆M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r;

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，

求D到l的距离.

一般来讲，高中数学中很少出现两个二次曲线相交问题.本题就是两个二次曲线相交问题，并且还综合了导数的应用.

34 解答方法创新法

创新题作为一种诊断和培养学生创新意识和创新能力的新型数学题，具备多样化、新颖性解题方法是必需的.学生通过对题目的分析，提出多元化和新颖性的解决方法，培养创造性的思维和发展创造性的能力.

在创新题编制中，命题者要根据选择的题目内容，多角度、多层次、全方位地去分析其解答方法，尽可能地从学生的实际和中学数学涵盖的知识、思想方法情况出发，使之“一题多解”和“一题妙解”.

（1）改编题

例12 已知函数y=1-x+x+3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为（  ）.

A.14   B.12   C.22   D.32

变式9 已知函数y=x+3-1-x的最大值为M，最小值为m，则mM的值为（  ）.

A.14   B.12   C.22   D.-1

变式9的函数是改变例12的正号得来的，两道题的解法基本上类似，但是由于变式函数结构的特点，其还可以根据函数单调性的含义解答.

图2

（2）原创题

例13 如图2，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则AP·AC=    .

本题以平行四边形为载体，考查向量的运算.由于平行四边形的图形特点，其解答方法是多样的.

数学命题并非每一个教师都能做得好，而且数学创新题编制的研究尚未形成一定的理论，教师的命题是相对独立、封闭的，因此，教师要把设计过程中突发的灵感、想法及时记录下来，仔细研究和记录优秀数学题的命制思路和方法，做好反思总结，得出命制此类数学题的一般方法、技巧.同时，教师应致力于总结一套评判这类数学题好坏的标准，量化地评估其创新度等指标，建立科学的命题机制.另外，编制数学创新题主要的目的是通过提高数学教学有效性和趣味性，提高学生的成绩，发展学生的创新能力和创新意识.因此，我们也要从教学效果的角度反思创新题的编制情况，总结经验教训，从而提高课堂教学的效果，提升数学命题的水平.

参考文献

[1] 夏文涛.基于高中数学创新题设计的教师专业发展研究[D].重庆师范大学，2014.

作者简介 夏文涛，男，河南信阳人，硕士，先后在省级及以上期刊上发表论文8篇，其中1篇被中国人民大学复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载，荣获重庆市第十一届基础教育课程改革论文大赛一等奖.主要从事数学课程与教学论研究.