数学教学中反证法的学习认知

汪思园

【摘要】 综合学过的教学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点及如何正确的把反证法运用到数学中.

【关键词】 数学；反证法；认知

一、自主探究

1. 复习旧知识：在课堂教学中，学生应已了解了直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”，这2种证明方法各有所长，在解决具体的问题中，学生应选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合运用.

2. 对比中学习新知识：反证法是间接证明的一种基本方法，是从反方向证明的方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题. 法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”. 具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.

3. 问题探究：反证法会在怎么样的情况下运用？ 其推出的矛盾是如何得到的？

二、要点的诠释

1. 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.

用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原理结论正确，否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定2个或是2个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，否定结论在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑和推理结果与“已知条件、假设. 公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.

2. 反证法是以正面“存在性、唯一性、带有‘至少有一个或‘至多有一个等字样”的一些数学问题.

用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“<”，“≤”的反面为“>”，“>”的反面“≤”，“<”的反面为“≥”，“≠”的反面为“=”，“=”的反面为“≠”或“>”及“<”.

反证法属逻辑方法范畴，他的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”第一个否定是指“否定结论（假设）”第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.

3.反证法中常见的矛盾：①与假设矛盾，②与公认的事实矛盾，③与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.

4. 反证法的证明在数学命题应用中的一般步骤

① 分清命题的条件和结论.

② 作出与命题结论相矛盾的假設.

③ 由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果.

④ 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设不正确，于是原来结论成立，从而间接证明命题为真.

三、典例精析

类型一：证明“存在”、“唯一”型命题

例1 求证：两条相交直线有且只有一个交点.

证明：假设结论不成立，即有两种可能：无交点和不只有一个交点.

①若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾.

②若直线a，b不只有一个交点，则至少有2个交点A和B，这样同时经过A，B就有2条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.

本题中的2种情况，缺一不可，否则就会导致错误，启示：通过本题的结论可以看出，在用反证法证明“存在”或“唯一”型命题，反设结论时要全面.

类型二：证明“至多”、“至少”、“无限”型命题

启示：使用反证法时注意以下两点：

（1）当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型时，常用反证法.

（2）用反证法证明的一般过程是：

① 否定结论？圯A？圯B？圯C；

② 而C不合理与课本公理抵触，与此前定理不相容，与本题题设冲突，与临时假定违背自相矛盾；

③ 因此假设结论不能否定，故原结论正确.

四、学后反思

在教学课堂中数学教师要一步步慢慢的引导学生学习的思路步骤，最后总结用反证法证明问题的条件，期待以后更好的运用到学习中，举一反三.