不完全信息四人帮模型的建设工程竞标合作均衡分析＊

李海霞，王祖和，修瑛昌，王根霞

（山东科技大学 经济管理学院，山东，青岛 266590）

1 引 言

博弈论作为数学研究领域的一个分支，主要应用于分析竞争形势，竞争结果往往不仅是个人选择和机会的结果，还依赖于其他参与者的决策．因此竞争结果是由所有参与者的行为决定的，每个竞争参与者都试图得到其他参与者选择信息，再做出自己的最佳策略．建设工程投标报价决策中，投标者竞争的关键是智胜对手，引入博弈论的精髓在于博弈中的一个理智决策者必须以考虑其他参与者的反应为基础来确定自身最理智的投标报价方案．因此博弈论适用于研究投标报价决策问题．

研究结果表明［1］，在完全信息条件下，只要是有限次的博弈重复，不论重复的次数是多少，都能出现唯一的子博弈精炼纳什均衡，即所有参与者在每次博弈中都选择静态策略（假设存在唯一静态博弈的精炼纳什均衡），也即参与人在有限次重复博弈条件下不会选择合作．但在实际投标活动中经常存在投标者之间相互串标，导致投标价大幅提高或者出现竞争者以低于其成本中标的结果．可见应用完全信息条件下静态博弈来研究投标者的报价决策有一定的局限性，不完全符合实际状况．

基于博弈论的投标报价模型的基本假设是所有投标者的决策都是针对竞争对手决策行为直接反映并且所有投标者的决策都是其最优报价决策［2］．在求解最优报价过程中，通常对成本分布函数的分布做种种假设［3］，在实际中要想获取竞争对手的成本分布函数非常困难．因此通过基于博弈论的投标报价策略来预测竞争对手的报价决策困难很大．鉴于此，通过基于博弈论原理来研究投标过程中竞争对手之间的合作均衡规律．

2 竞标博弈模型的构建

2．1 精炼贝叶斯纳什均衡

博弈论中先行动者为了不让后行动者利用其行为结果，在行动之前都会设法传递对自己最有利的信息，避免将对自己不利的信息传递出去．因此投标者之间的竞争决策是信息不完全的动态博弈过程．研究结果已经证明“四人帮”声誉模型（Kreps，Mailgram，Robbers and Wilson Reputation model，1982，简称KMRW）可以有效的解决信息不完全条件下的重复博弈问题［4－5］，可以利用信息不完全有限次重复博弈的“四人帮”声誉模型来研究建设工程投标报价中投标者之间是如何建立竞争与合作的均衡关系．

若设定投标者1具有大于0的概率q是不理智的，即在竞标报价过程中会出现不论对方报价如何决策，投标者1都有可能出现不理智的任何报价策略；投标者2对投标者1的这一不理智概率q是已知的，已知的方法是通过使用贝叶斯法则观察投标者1的行为中获取的．在一般的“四人帮”模型中，对所有参与者的属性的推断均体现在他的信誉之中［6］．举例而言，如果在向银行贷款的过程中一个企业向来有按时还贷的良好信誉，当在建立企业与银行之间的信贷博弈模型并考虑划分企业的属性时，银行对该企业向来能做到按时还款这种属性赋予一个正的条件概率．

精炼贝叶斯均衡是一个先验战略组合m＊（t）＝（m1＊（t1），．．．，mn＊（tn））和一个贝叶斯后验概率组合q＝（q1，…，qn）的组合，需要满足以下条件：

1）对于每一个参与者i，在所有的信息集A里边，∈argmax

2．2 模型的基本假设

1）假设投标者有理智和非理智两种属性，每个投标者在投标前均清楚自己的属性，而不清楚对手的属性，但严格意义上来讲这种信息不完全条件实际上是相仿的信息不完全条件，所以投标者会对对手可能的属性有一个主观判断．

2）在投标中，投标者与招标人之间不存在约束力关系，即各自独立作出各方的决策．

3）投标者的总利润是所有时段博弈利润贴现后的现值之和．

4）业主没有对于哪一个投标者有特殊偏爱，即所有投标者面临的风险是等量的．

5）本文中假设的中标方式是最低价中标方式．

2．3 模型的博弈要素分析

1）参与人

目前双人博弈已经具备了比较成熟的理论和算法，而对于参与者人数n＞2的多人博弈而言，计算量远远高于双人博弈，求解过程更为困难．鉴于此，为计算简便本文将实际问题中的大于三人的博弈转化为双人博弈来处理，也即将所研究的一个投标者定义为博弈者1，然后利用Friedman投标报价模型中的平均对手法则将其余n－1个投标者进行虚拟等值定义为博弈者2．

2）投标策略及利润函数

为了减少计算量，设定投标者的投标策略集合为高投标价或低投标价，投标者在两种策略下的利润组合如表1所示．

表1 投标者竞标利润组合表

3 竞标博弈模型精炼贝叶斯纳什均衡的求解

3．1 投标者之一为完全理智的情形

1）两投标者竞标的博弈顺序

首先假设投标者1有具有非理智属性的条件概率为q，对应的理智属性条件概率为1－q．为计算简单，假设投标者2是完全理智的．理智属性的投标者1（以下简称Z1）可以任意选择“高投标价”或“低投标价”．在对模型进行分析时，假设非理智属性投标者1（以下简称FZ1）只有一种战略：势不两立战略．这种假设下一旦他偏离了“势不两立”战略，就立即暴露出他是理智的．有了这个假设，就可以集中精力对理智属性投标者2（以下简称Z2）的战略选择进行分析．对于FZ1，他的战略是：开始选择“高投标价”，此后在y时段选择Z2在y－1时段的选择（即选择Z2上次的投标策略）．

在上述假设条件下，“四人帮”声誉模型下两投标者竞标有如下的博弈顺序：

①投标者1知道自己的属性，投标者2只知道投标者1属于理智和非理智属性的概率．

②得到第一时段博弈结果之后，进入第二时段博弈；得到第二时段博弈结果之后，进入第三时段博弈．如此重复博弈Y次．

③所有时段博弈的利润的现值之和作为两个投标者在博弈中的总利润（本文假设现值系数θ＝1）．

完全信息条件下重复博弈中两个投标者的属性都是“理智的”，每个投标者在开始时段博弈中的选择都是合作的“高投标价”行为．此时意味着2个投标者都有着合作的信誉，他们都采取一种 “势不两立”战略：选择合作一直到竞争对手在y时段选择“低投标价”（对抗）为止，然后从y＋1时段开始一直到Y都选择“低投标价”（对抗）．势不两立战略代表着一种“对对手的背信弃义行为绝不原谅”的原则．随着对手的第一次选择“低投标价”的背叛使得这种合作的信誉终止．但是在“四人帮”模型中，投标者1因“理智”属性的概率是1－q，就存在概率非理智概率q去采取“势不两立”战略，即开始选择“高投标价”（合作），以后己方采取的方案就是对方上次所选择的方案．这样合作的可能就出现在重复博弈中．至少在开始的第一时段投标者1的合作信誉可以通过条件概率q表现出来，因为条件概率为q的非理智属性投标者1开始的选择高投标价体现了合作愿望．

2）博弈重复两次的情形

用L代表“低投标价”，即L可以表示对抗的行为；用H代表“高投标价”，即H表示合作行为．现在从最后一个时段（y＝2）开始逆向倒退进行讨论．在最后博弈时段，因为L严优于H，所以Z2和Z1都会选择L报价．而这时FZ1的选择依赖于Z2在第一时段的选择，不妨设选R（R可以是L或H）．退到第一时段，根据假设，因为FZ1采取“势不两立”战略，所以FZ1开始应选择H（“高投标价”）；Z1必然选择他的严格占优战略L，而且他这时的选择不会影响Z2在第二时段的选择．这样，讨论的中心问题就集中到Z2在第一时段的选择R到底是L还是H上．因为他的选择直接影响到FZ1在第二时段的选择．两时段博弈进行情况如表2所示．对于第1时段博弈收益结果可以由图1所示的扩展式中表述．

表2 博弈重复2次报价组合（Y＝2）

图1 阶段博弈收益扩展式

如果Z2选择R＝H，也就是选择合作行为，这时他的期望利润为

由于Z2在第一时段选择了H，因而在第二时段中，FZ1和Z1以及Z2的选择依次是H、L、L．因此，在第二时段中，Z2的期望利润为

这样，由于前面设定θ＝1，两时段博弈Z2总的期望利润就是

类似地，如果Z2在第1时段选择R＝L，也就是选择对抗行为，这时他的期望利润为

这样，Z2在两时段博弈的总期望利润就是

因此，当不等式

Z2在重复博弈的开始时段（第一时段）将会选择R＝H．这表明，如果非理智属性的投标者1的条件概率q≥G2LL－G2LH／G2HH－G2LH，Z2将会在第一时段博弈选择H，也就是选择合作行为．这也即说明，Z2选择合作时段的数量只与条件概率q有关．

在前文的讨论中，只对投标者1的属性进行了两种假设，投标者2只有一种属性，属于单边非对称信息假设．这样建立的合作均衡不属于精炼贝叶斯纳什均衡．这是因为，如果Z2在y＝Y－1时段不选择H，到了最后时段（y＝Y），FZ1跟着也不会选择H．这样，y＝Y－2与y＝Y－1组成的两时段博弈，Z2在y＝Y－2时段也不会选择H．依次类推，没有任何一个时段上理智的Z2选择H，Z1也不会选择严劣战略H．唯一的精炼贝叶斯纳什均衡是时段博弈纳什均衡（L，L），即（低投标价，低投标价）重复Y－1次，这与在完全信息情况基本一样，区别只有Z1在第1时段选择了H．即信息完全和单边非对称信息不完全的有限次重复博弈条件下两投标者之间的竞标出现合作行为的概率为0．

3．2 两投标者都具有大于零的概率是非理智的情形

前面讨论的投标者1具有非理智概率q而投标者2完全理智的情形，本节讨论投标者1和投标者2均具有非理智概率q的情形，即本节讨论非理智投标者2的期望利润．根据参考文献［7］，在两投标者信息不完全有限次重复博弈中，非理智属性投标者选择的战略为“势不两立”战略改换为“苛刻战略”，但最后产生的均衡是一样的．为了论证方便，也将非理智投标者选择的战略由“势不两立”战略改换为“苛刻战略”，即“开始第一时段选择H（合作），合作直到对手选择L（对抗），然后一直以牙还牙选择L．”

所以如果对手是FZ1，FZ2的期望利润是G2HH×Y，两方均不会做出背叛选择（因为非理智属性投标者选择“苛刻战略”，在y＝1时段，只会选择H）．即一直处于合作状态．

如果对手Z1在y＝1时段选择L，FZ2在y＝1时段选择H，从y＝2时段开始，两个投标者都将选择L，直到最后一个时段（y＝Y）．这是一个均衡：从y＝2时段开始，FZ2选择L是根据“苛刻战略”报复Z1；Z1的最优选择总是严优战略L．这种情况下FZ2的期望利润是：

考虑到投标者1属于两种属性的条件概率分别为q与1－q，这样FZ2从这一战略得到的期望利润应为：

考虑投标者2，如果他在第一时段（y＝1）上选择L，会暴露他是理智属性．这时投标者2的期望利润为：

比较式（8）与式（9）的结果，对于投标者2，第二战略优于第一战略的条件为：

这个不等式结果表明 ，只要Y大于式（10）右边取整后的Y＊，则可以说明从一开始就选择L（对抗）不是投标者2的最优战略．由上式可以看出，q越小，Y＊取值越大．也就是说，对手理智的概率与选择合作的可能性具有正相关性．不论q多么小，总存在一个Y＊，使得对所有的Y＞Y＊，投标者2在y＝1时段选择L不是最优战略，最优战略为选择高报价（合作战略）．根据对称性原理，类似的结论对投标者1也成立．这个结果表明，对于非理智投标者，即便存在微小的非理智概率，如果跟对手达到足够多的重复博弈次数Y，合作成为最优战略．

4 结 论

应用信息不完全条件下有限次重复博弈的“四人帮”声誉模型原理，建立建设工程投标报价中两投标者进行竞标的重复博弈模型，并求解及分析报价模型的精炼贝叶斯纳什均衡，得到如下结论．

1）信息完全有限次重复博弈条件下两投标者之间的竞标出现合作行为的概率为0，而信息不完全有限次重复博弈条件下两投标者之间的竞标存在合作的均衡规律．

2）两投标者在有限次重复博弈竞标中，如果每一个投标者都具有非理智的概率q＞0，不论q多小，只要进行了足够多的博弈重复次数，就会出现合作均衡的局面，并且对抗非合作时段的总数与博弈重复的次数无关，而只与这种非理智的概率有关．

3）对于一方投标者，竞争对手的理智概率决定了选择与其合作的可能性．不理智的概率越小，合作的时段越会提前．

［1］熊炳忠，马柏林．基于贝叶斯MCMC算法的美式期权定价［J］．经济数学，2013，30（2）：55－54．

［2］左西子，赵人可，彭朝晖，等．具有不完全信息的内部交易动态博弈［J］．经济数学，2014，31（2）：49－54．

［3］孙修勇．合作博弈视角分析社会财富分配［J］．经济数学，2013，30（3）：75－80．

［4］焦银禾．建设工程招投标及博弈论应用［M］．北京：中国铁道出版社，2009：147－182．

［5］李光久．博弈论基础教程［M］．北京：化学工业出版社，2004：168－191．

［6］喻刚．建筑工程项目投标报价决策研究［D］．天津：天津大学管理学院，2008．

［7］蒲永健．应用博弈论［M］．重庆：重庆大学出版社，2014．