基于切比雪夫最佳逼近意义下的CPI指数变化通道的原理与方法＊

顾乐民

（同济大学 材料科学与工程学院，上海 200092）

1 引 言

居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI指数），是普通消费者所购买的物品与劳务的总费用的衡量标准，反映了一定时期内价格变动程度和趋势的相对数．CPI指数不仅受商品价格的影响，比如粮价［1］、房价［2］等，也有对其权重经常进行调整的一个动态过程，这使得CPI指数变化具有随机性大、难以找到一般变化规律、难以进行预测等特征．对CPI预测理论及方法成为许多学者关注的问题，目前主要有，基于小波分解自回归模型分析法［3］、VAR 模型法［4］、ARIMA 模型法［5］、神经网络法［6］、灰色 GM（1，1）模型法［7］等．

2000年以来的CPI指数积累了186组数据，数据是离散的，孤立的，数据之间的关系是不明确的，数据的来源是有一定统计误差的．这些看似杂乱无章的数据背后，仿佛总有一只无形的手在操纵着CPI数据的变化，称这只无形的手为“隐函数”．或许这只无形的手根本就不存在，因为CPI指数的波动含有大量的“人类因素”，或许存在但目前难以找到，但这不影响探讨的本质．任何一个运动、变化、发展的事物，都存在其本质的内在规律，都是可以从变化的过程中找到．

构建隐函数的目的，是要用数学的方法来探索CPI变化的某些规律．CPI指数属于一种“近程有序，远程无序”的数据变化形式，在较短的局部范围内，其变化具有一定的规律可循．从长期全局范围看，其变化呈大波动状失去规律．这也就是说，用具有轨迹特征的曲线是难以描述这种变化的，必须用其它的方法，一种既包含着曲线又不局限于曲线的方法去描述．

切比雪夫（P．L．Chebyshev，1821～1894）创立的最佳一致逼近原理，最早源于19世纪对机器的机械运动按理想设计运动的研究．将该原理运用于CPI指数变化，可以构建一条切比雪夫最佳逼近意义下的CPI指数变化通道．CPI指数变化是有限的变化，可以用2条曲线，1条称为上界限，另1条称为下界限，将所有的数据都囊括其中，并形成一条延伸的通道．通道将杂乱无章的数据加以规范和约束，而隐函数必定在通道之内，通过数学的方法可以找到最佳逼近意义下的隐函数，使CPI的变化成为可知与可控．由于通道具有连续性，变化具有惯性，所以通道的外延具有一定的预测效应，可以推断出未来可能的变化趋势，为决策提供有价值的参考．

切比雪夫最佳逼近意义下的数据通道的建立与应用，文献［8］有较为详细的描述．由于CPI指数具有变化莫测的特殊性，从最简单的“直线通道”入手，通过建立通道而阐述其基本的原理与方法，并用186组数据按序做30个数据处理的实例，以检验预测的效果．

2 原理与方法

切比雪夫最佳逼近的核心是最大绝对值误差极小化，由此构成了极小极大曲线拟合法，适用于一个封闭系统内的描述，具有广泛的应用［9］．由于最大误差一般都是在端点处出现，在定义区间外是发散的，这从切比雪夫多项式的所有图形中可以看出，所以不适合用于预测．对预测而言，预测的误差越小越好，而不是最大甚至发散．零误差型极小极大逼近是切比雪夫最佳逼近原理的一个推广，是通过若干零误差点限制端点误差为最大，达到端点外误差不发散的目的，其理论基础是零误差型切比雪夫多项式［10］，以及相应的预测理论［11］．对于 CPI指数的预测，只需提供1个零误差点，在坐标系上是指最右端（简称端点，下同）的数据点，这使复杂的问题可以简化叙述．

2．1 零误差型极小极大法（Z－Minimax method）

数据 （xi，yi）i＝1，2，…，m是隐函数y（x）在有定义的区间内给出的m个离散点组，为找到隐函数y（x），设拟合函数f（x）＝f（x，a），其中参数a＝（a1，a2，…，an），n≤m，而a1，a2，…，an为n个不全为零的实数．为使f（x）尽可能接近y（x），设误差函数r（x）＝y（x）－f（x），而误差值ri是误差函数r（x）上的具体数值：

零误差型极小极大法，是将端点数据误差设定为零误差rm＝0条件下，依据最大绝对值误差极小化的准则来选择参数a，即依据而构成的一种方法，是切比雪夫最大绝对值误差极小化基本准则的一个推广．

2．2 解的实现

如果零误差型极小极大解存在，即存在a＝a＊使

则至少存在1个零误差点和n个切比雪夫交错点x1，x2，…，xn使

称参数a＊为极小极大最佳拟合参数，称f（xj，a＊）为极小极大最佳拟合方程，称E＊为最佳逼近值，它们构成了零误差型极小极大逼近的一般解．

2．3 零误差

所谓零误差就是没有误差或误差为零．当将端点数据的误差设定为零时，可使短期的预测得到保证．从曲线变化的一般规律来看，零误差的两端是以“－，0，＋”或“＋，0，－”形式出现，越接近零点，误差绝对值就越小．这就给出一个提示，将端点误差设定为零误差即ym－f（xm）＝0，则对于端点外临近的数据，其预测误差rm＋1＝ym＋1－f（xm＋1）的绝对值也必定不会大，这为预测的准确性提供了理论依据，仅在出现大随机误差的特例下才会无法成立［11］．

2．4 CPI通道

某个变化的过程和状态可用“通道”来描述，例如，处于下降（或上升）的通道之中等．通道，来往畅通的道路，与交通图中的道路相似，是拟人化的表达．零误差型极小极大逼近意义下的CPI指数变化通道，简称CPI通道（下同）有以下几个特征：

1）通道的构成．通道由1条中心线，2条边界线共同构建；中心线是CPI函数转化的曲线，也称为路线是前行的指导线；边界线是距中心线两旁±E的曲线．通道用Channel（x）表示：

2）通道的作用．通道将离散的、有随机误差的数据加以分类和规范，它依据最佳逼近值±E将全部的数据规范在通道内，指出了位于边界线上的数据，由于偏离中心线最远，属于波动最大的大误差数据；通道将端点数据的误差设定为零误差，废除了所有数据是权重相等的惯例，使权重往端点数据倾斜，并使对未来的预测建立在零误差的基础上；通道包含了所有的数据，所以隐函数必定在通道内，通过数学方法可以找到最佳逼近意义下的隐函数，或近似隐函数．

3）通道的意义．将理论的指导路线与实际行走的轨迹联系在一起，数据沿着中心线前行，但实际是在偏离和纠正偏离中前行的；通道指出了数据变化的最大范围，限定了安全的最大界线；在最大安全范围内去探寻隐函数，从而找到CPI变化的某些规律，用于解释过于、指导现在、预测未来．

3 具体算法

由于CPI数据的随机性，波动性，难预测性，用通道的原理和方法寻找数据之间的关系有较好的效果．下面用图示法加以介绍，用的是直线型通道．图1横坐标x是月，纵坐标y是CPI指数值（无量纲）．图中参与计算的CPI数据yi是12个，均在虚线之内，虚线外的数据有1个，不参与计算．

3．1 通道的构成

通道的中心线是拟合函数描述f（x）＝f（x，a），与2条边界线共同构建成通道f（x）±E．通道内包含了12个数据．由式（4）产生的最大正负误差点位于边界线上，如图1中的点A和点B．通道内有1个零误差点，位于数据的端点，如图1中的点C．

3．2 零误差点

零误差点是人为设置的点，目的有3个：首先是将相等权重的数据变为不等权重，一般而言，距离现在最近的数据应该有较大的权重，而较远的权重可以较小，这对于预测而言是合理的，所以端点数据是权重最大的数据．其次是使未来的预测建立在误差为零的基础上，这对于未来的预测误差，难以判断是正还是负而言，是合理的．再次是一般在零点附近的数据其误差绝对值一般都是较小的，这使短期预测准确性有了理论上的依据．

3．3 边界线

大误差数据的出现，会使边界线外移，使通道变宽．为使通道收窄，必须将最大（正负）误差极小化．图中由点A和点B的这2个最大误差又都是极小化的，所以边界线也是极小化的，使通道收窄．从安全意义上说，切比雪夫最佳逼近意义下的通道，是最窄的通道，也是数据变化的最大安全范围，超出这个范围就有可能是不安全或欠安全的．

3．4 预测假设条件

若未来短期CPI指数的变化不存在突变，或存在突变但其最大绝对误差不大于通道内的最大绝对值误差，则通道的外推延伸能较好的给出未来CPI指数变化的趋势．预测是建立在预测值f（xm＋1）与最大正负误差±E基础上的，描述了CPI指数未来可能的数值与最大的波动范围：f（xm＋1）±E．从统计概率角度出发，大部分变化不会超出f（xm＋1）±E，这样就使得CPI指数未来的变化成为可知与可控．

图1 CPI指数变化通道示意图

3．5 判断法则与具体算法

判断法则主要是判断异常解是否存在，以及如何处理的问题．

最大绝对值误差与最小绝对值误差（即零误差）之间在本质上是不相容的，强制将原本是最大误差的端点改为零误差点，会导致方程结构大的改变，甚至会使方程出现一种病态状，结果是预测准确性变差．异常解出现的原因一般在于数据的随机性偏大，数学模型选择的不当所致．具体算法包含判断法则，主要步骤如下．

1）判断：先用最小二乘法对数据进行预处理，进行判断．若用最小二乘法的数据处理，其最大绝对值误差出现在端点，且该误差值较其他误差值明显放大，则该点就是异常数据点，其解将可能会出现异常．最小二乘法是个简单方便的数据处理法，它所获得的最大绝对值误差一般也是极小极大法的最大绝对值误差，所以用最小二乘法进行预处理，用的是其方便与有效．

2）处理：对于异常数据，可以通过增加或减少数据数目，或转移零误差点，或改变数学模型等方式进行处理；若异常数据虽然存在，但误差在允许的范围内，可不作处理．

3）求解：取直线方程为f（xi）＝a＋bxi，对于式（4）设1≤j，k≤m－1，j≠k，可以通过

获得参数a，b及逼近值E．取不同的j，k，使最大的E为极小minmaxE＝E＊，从而获得最佳逼近值E＊，此时获得的参数即为最佳参数a＊，b＊．

4 数值分析

2000年1月－2015年6月我国CPI指数来自国家统计局，共186个，每年的数据是12个，归为1组（2015年除外），共有15组数据，先以2003年的数据处理为例．

4．1 实例一

2003年1月到12月的CPI数据有12个，由判断法则进行预处理，用最小二乘法得到的方程用P2003（xi）表示：P2003（xi）＝99．41＋0．26xi，经判断，端点i＝12不是最大误差点，可以运用零误差型极小极大逼近，得到的方程用f2003（xi）表示，其中xi＝1，2，…，12：

极小化的最大绝对值误差出现在i＝1，9处，为max｜r｜＝1．05，由此构建的2003年CPI通道为：

Channel2003（x）＝f2003（）x±1．05，其中f2003（）x是f2003（xi）在去掉下标“i”后的函数表达，定义区间为［1，12］．将x13＝13代入，得2004年1月CPI指数预测值及波动值：103．55±1．05．已知2014年1月CPI指数是103．2，在预测的范围之内．将预测值与实际值进行比较，预测的误差为0．34%．

文中的图1就是2003年1月至12月的CPI变化，以及CPI通道，在虚线外的点就是2014年1月的CPI指数，图中有关说明可参见前文．

4．2 实例二

如法炮制，按序将2000，2001，…，2014年1月至12月的数据处理结果列于表1．

表1 我国2000～2014年，每年1月至12月CPI指数的数据处理及预测

从表1结果看，CPI实际值都落在预测值及波动范围之内，所以预测的结果是有效的．其中2012年带＊的数据属于异常的数据处理，该年11月的CPI指数为102．0，但12月增至104．6，而次年1月又回落到102．0，计算表明12月份的数据属于异常数据，通过零误差点迁移，取绝对值误差最小的点为零误差点，获得表中的方程式．

4．3 实例三

表2是按序2000，2001，…，2014年，当年6月至次年5月的12个CPI数据处理以及对次年6月预测情况，共15组．其中带＊的2013／06－2014／05因出现3个零误差点，故斜率为0，属于特殊方程．为了与表1区别，方程用符号g（xi）表示．

表2 我国2000～2014年，当年6月至次年5月CPI指数的数据处理及预测

5 结 论

提供的通道原理与方法，具有简单易懂、直观性强、计算方便、适用范围广、符合性较好等特点，是曲线拟合的一种推广，目的是使预测及预测误差成为可知与可控．由于直线通道是一个简单的通道，在进一步的探讨中还需要逐步加以完善．

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