金属线胀系数测量的误差分析

于莉莉,苏靖文,陆思绮

(南京林业大学,江苏南京 210037)

金属线胀系数测量的误差分析

于莉莉,苏靖文,陆思绮

(南京林业大学,江苏南京 210037)

在高等院校的实验室中多采用电加热光杠杆法测量金属的线胀系数对可能影响金属线胀系数测量的三个因素进行了分析,并提出了改进方法和新的实验步骤,以达到减少实验误差的目的。

线胀系数;光杠杆;设定温度法

测量金属线胀系数是大学物理实验中一个重要的热学实验。目前常见的方法有流水加热法,蒸汽加热法和电加热法等[1-3]。其中电加热法是在多个设定温度工作点下,用尺度望远镜和光杠杆测量金属杆由不同状态温差所起的长度变化,从而得到金属杆的线胀系数。该方法因其加热迅速,操作简单等优点得到了广泛的应用,但该方法存在实验误差大的现象[4,5]。本文对该实验误差产生的原因进行了分析和探讨,并提出了简单有效的改进方法。

1 误差分析

1.1 光杠杆常数测量产生误差

实验中发现,由于实验仪器制作不精密,学生实验操作时不够严谨,导致光杠杆的杆倾斜且与水平面形成一定夹角,如图1实物图所示。

图1 光杠杆实物图

图2 实验原理图

为了方便理解,我们绘制了简单的原理图,图2中实线部分为实际操作时光杠杆放置位置,与虚线所示的理论水平放置位置存在一倾角γ。金属的线膨胀量为

其中D是光杠杆镜面到标尺距离,di(i=1, 2)为尺读望远镜上标尺的刻度。k是光杠杆前脚到两后脚连线的垂直距离。而在实际操作中,我们所量的k值是原理图中的k′,即实际运算时我们是使用

由原理图可得k=k′cosγ,因此金属真实的线膨胀量为

比较上面两个式子,我们不难看出光杠杆前脚的倾角γ影响了ΔL的值,使得实际测量的ΔL变大。当温度从t1升高到t2,原长为L1的金属杆伸长了ΔL,则该金属的线胀系数

由此可以得出,由于光杆杆前脚的倾斜,最终测量出来的线胀系数α要大于理论值。同时我们还对在不同的倾斜角度γ下,理论值与测量值所产生的误差进行了分析,以下是误差分析表格。

表1 光杆杆倾角对误差的影响

随着γ的增大,测量的相对误差也在增大。为减小实验最终的误差,在调节光杠杆前脚时,应该尽量使光杠杆的前脚与后脚在同一水平面上。可考虑在光杠杆的设计中增加可调节前脚高低的稳定装置。

1.2 平面镜不与水平面垂直所产生的误差

实验操作步骤中,并没有提到平面镜要与水平面垂直。考虑到在实际操作中,平面镜与水平面不垂直,会使实验测量结果产生一定的误差。分析如图3所示,在金属杆伸长ΔL,即平面镜旋转β/2角度(反射光线旋转了β)的情况下,望远镜上标尺的刻度变化为d0=d2-d1。当平面镜与水平面的夹角为α/2时,在金属杆伸长同样长度的条件下,竖尺的刻度变化为d=d′2-d′1。通过几何知识,我们得出d>d0。由图可知

图3 光杠杆装置测量微小长度实验装置图

由于金属杆的伸长量极小,导致β值也很小,则tanβ≈β,这样我们就可以将公式(5)写为

将(6)式两边同时除以β后,等式右边即相当于对tanα求导,整理后得

由公式(7)和(8)可得

从上式可知,随着平面镜与水平面夹角的增大,实际测得的d也在增加,从而使测得的实验结果偏大。而这些与平面镜因金属杆长度增加而旋转的角度无关。

图4 倾角α引起的实验相对误差

图4给出了α引起的实验相对误差,其对应的平面镜倾角为α/2。对于确定的α值,在表2中给出具体的相对误差。

表2 平面镜倾角对误差的影响

从图和表可以看出,平面镜倾角对实验误差的影响较光杠杆常数引起的误差要显著。为减小误差,在调节平面镜的时候,要尽量将平面镜调节至与水平面垂直。另外,望远镜的光轴与水平面不平行也会引起实验误差,对这方面的具体分析可参考文献[6]。

1.3 加热方法产生的误差

实验时一般采用设定温度加热法,即依次等间距设定温度调节器的温度,记录下望远镜中标尺的刻度,从而测定金属的线胀系数。在实际的实验操作中发现该方法的误差较大,原因在于温控加热功率调节并不能达到在每个测量点上让待测金属杆达到恒温。这样实验过程中被测金属杆达到热平衡的时间与温度计响应时间不可能完全同步,因而无法测得每个测量点上该温度所对应金属杆的真实长度。因此,我们采用了动态升温加热法,降温法和调节加热功率法,并将其与设定温度加热法进行了比较。这四种方法的具体操作过程如下:

(1)设定温度加热法:依次设定温度调节器的温度为40℃、50℃、60℃、70℃、80℃、90℃、110℃,调节加热功率最大,当温度稳定在设定温度时,记录标尺读数,求出线胀系数。

(2)动态升温加热法:设定温度调节器的温度为115℃,调节加热旋钮在中间位置,当温度升温至40℃、50℃、60℃、70℃、80℃、90℃、110℃时,依次记录标尺读数;

(3)降温法:等加热器加热到115℃时,将加热器插头拔出,等待降温至110℃、90℃、80℃、70℃、60℃、50℃、40℃时,记录标尺读数;

(4)调节功率加热法:将加热旋钮等分成8格,把加热器插头直接插入电源插口,调节加热旋钮(即使加热功率由低到高)为金属杆加热,每调节一格待温度稳定时,记录温度调节器上显示的温度以及标尺读数,根据对应的温度及标尺对数求出线胀系数。

表3为不同的加热方法所测得的线胀系数,对于每种方法我们测量了3次,设为一组,一共做了5组实验数据。我们对这5组测量值取平均得到下述结果。其中相对误差是与25℃标准气压下黄铜(62%Cu,38%Zn)的线胀系数1.89× 10-5/℃[1]比较得到的。从表中可以看出,设定温度和降温测量的结果非常接近公认值,升温测量结果其次,调节功率测量结果的相对误差达到了23.8%,偏差较大。降温测量结果的标准偏差比设定温度测量的更小些。

表3 四种加热法测量金属杆线胀系数的实验数据

为减少设定温度法测量的误差,我们采用长时间测量,以保证待测金属杆在每个测量点尽量达到恒温,这样做的结果是减小了误差,但耗时长(需大约6 h)。降温法由于待测金属杆在加热筒中自然冷却,使金属杆与筒中的空气达到热平衡,其各部分的温度基本相同,温度显示器的示数比较接近金属杆整体的真实温度,因此测量的结果比较接近公认值。更重要的是,与设定温度法相比,降温法耗时短,能使学生在规定的课时内很好地完成教学任务,在一定程度上提高了实验效率。

由于设定温度加热法是教学中的常用方法,为了对比,我们将另三种方法的测量结果与用该方法测得的黄铜杆平均线胀系数1.90×10-5/℃进行了比较,结果如下:

表4 三种方法与设定温度法测量结果比较的相对误差

表4中的相对误差是将升温,降温和调节功率法测得的线胀系数与常用的设定温度法比较得到的。从表中可以看出,动态升温,降温法所求得的线胀系数与设定温度法测得的结果偏差不大,调节功率法的相对误差较大。因此,不建议在实验中采用调节功率加热法。

图5 四种方法的拟合结果

对四种加热方法所得数据拟合后的结果如图5所示,拟合结果与逐差法所得结果一致。从图中也可以看出升温、降温法求得的斜率与设定温度法求得的斜率相近,降温法与设定温度法的曲线几乎重合,而调节功率法给出的斜率与设定温度法有较大的偏差。图中R2表示拟合相关系数。

2 结 论

我们对电加热光杠杆法测量金属线胀系数可能存在的误差进行了分析。光杠杆前脚没有水平放置,平面镜与水平面不垂直都会产生误差,随着倾角的增大,相对误差也越大,而且平面镜不竖直放置所造成的误差较光杠杆前脚倾斜引起的误差显著。平面镜的调节可人工完成,光杠杆的调节可考虑在设计中增加可调节前后脚高低的稳定装置。

设定温度加热法是实验中常采用的加热方法,但要想减小实验误差,则需花费较长的时间完成实验。降温法在现有的实验条件下,能保证学生在规定的课时内更精确的完成测量任务,提高了实验效率。另外,我们的研究也表明,调节功率法测量的结果偏差太大,在不改进设备的前提下,不建议实验室采用该方法。

为了使降温法在实验室操作时达到较好的效果,我们给出了相应的实验步骤[7-8],改进部分用下划线进行了标注:

(1)检查电源线是否连接好,加热器插头插入温度调节器入口。合上温度控制开关,从PV——测量值显示窗口读出初始温度。

(2)装置光杠杆,首先测定金属管长L1,金属杆插入电热器,热电偶插入金属管。将光杠杆长脚尖放在金属管的上端平面上,调节两后脚高度使光杠杆前脚与水平面相平行。

(3)调节望远镜与光杠杆处等高,适当转动光杠杆的镜面并调节望远镜焦距,由望远镜中读到标尺接近中央的某一读数d1,记下初温t1、d1和D值。

(4)按 SET键,数据减少(或增加)键,用SW1型数字温度计设定温度为115℃。

(5)合上加热器开关,合上加热器开关,温度升温至115℃时,断开加热器开关,温度下降过程中分别记录下:110℃,100℃,90℃,80℃,70℃, 60℃,50℃,40℃时望远镜中标尺的读数:d2, d3……d9。

(7)取下光杠杆,用游标卡尺量出k(可将光杠杆放在纸上压出3个脚痕,连线后量出)。

(8)计算金属线胀系数α。

[1] 李长江.物理实验[M].北京:化学工业出版社, 2003:130-133.

[2] 谢行恕,康士秀,霍剑青.大学物理实验[M].北京:高等教育出版社,2001:23-27.

[3] 周曼.大学物理实验[M].中国林业出版社,2002: 74-78.

[4] 胡君辉,李丹,等.光杠杆法测定金属线胀系数实验分析[J].大学物理实验,2010,23(1):30-32.

[5] 刘烈.固体线胀系数实验的仪器调整与误差分析[J].上海工程技术大学教育研究,2014(3):55-57.

[6] 任竞颖,河南教育学院学报:自然科学版[J].2004 (13):28-29.

[7] 刘佳,邓月明.一种基于虚拟仪器的金属线膨胀率测量方法[J].大学物理实验,2015(1):77-79.

[8] 邹艳,王红梅.衍射精细测量仪的设计和实现[J].大学物理实验,2015(4):60-63.

Error Analysis in the M easure of Linear Expansion Coefficient of M etal

YU Li-li,SU Jing-wen,LU Si-qi
(Nanjing Forestry University,Jiangsu Nanjing 210037)

In the experiment ofmeasuring linear expansion coefficient(LEC)ofmetal at college laboratory,we usually use electric heating optical levermethod.This paper analyzes the factors thatmay influence themeasurement of LEC,and propose themodifiedmethod and new experimental procedure.Thatwill help us to reduce the experimental error.

linear expansion coefficient;optical lever;set temperaturemethod

O 241.1

A

DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.006.029

1007-2934(2015)06-0098-04

2015-04-08

南京林业大学引进高层次人才项目(163101021);南京林业大学2015《大学物理》精品开放课程