模型化教学方法初探

张健

【摘要】笔者先阐述了模型化教学的相关概念，提出在几何部分，教师开展模型化教学具有现实必要性。紧接着，笔者总结概括了两个数学模型：长方体模型和三角形模型，通过对模型示例的分析，展现数学模型化教学的做法与体会。本文最后，笔者揭示了在教学中开展模型化教学的意义。

【关键词】高中几何 模型化教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0123-01

高中几何是高中数学学习中的重要内容。它需要学生具有较高的分析问题和解决问题的能力，是培养学生思维的一个重要场所。在这部分内容的学习中，文科学生往往凭借主观的感性判断解题。教师开展模型化教学，引导学生归纳总结几何中的常见解题模型，有助于帮助学生形成高度概括性的数学思维，将众多普遍问题转化为特殊问题，使之达到举一反三的学习效果。

一、模型化教学概述

对于高中数学而言，数学模型化教学是指在学习的过程中，教师引导学生对事物进行高度概括、抽象，提炼事物的本质联系，再运用数字化的语言，将这种特征与关系用数字结构表示出来的教学方式。在几何教学中，如果教师运用得当，数学模型就能够成为几何知识与浩如烟海的题库之间的桥梁，成为把握自身发展的阶梯。笔者总结概括了两个具有典型意义的数学模型：长方体模型和三角形模型，通过对模型示例的分析，展现数学模型化教学的做法与体会。

二、几何模型示例

高中几何主要包括两大部分：空间立体几何与解析几何。长方体模型和三角形模型，很好地概括了几何中三视图、空间位置关系、四面体问题、球的表面积与体积以及定点问题等知识的解题策略。

1.长方体模型

教师在教学中以长方体为载体，引导学生认识立体几何的基本性质与基本关系，更能够突出其直观性。

（1）在三视图中的应用

例1（2012年浙江省四校联考）一个空间几何体三视图如图1（1）所示，该几何体的体积为_________.

【评述】高考数学对三视图问题的考查主要有两类：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体。在解决第二类问题时，快速而又准确的找到几何原形，成为学生解决问题的当务之急。以长方体模型作为载体，在长方体ABCD-A1B1C1D1中找出三视图中各关键点对应的几何体空间位置，学生便可高效处理此类问题。（如图1（2））

2.永恒的“铁三角”

在空间立体几何和解析几何中，巧妙的将图形转化为求三角形边或角的问题，将使得学生在解决问题时获得事半功倍的效果。

例2 （2012年苏州调研卷）如图3（1）所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF和CD所成的角等于________.

解析：过E点做CD的平行线如图3（2），交AD与G，连接EF。由于E为AC中点，则EG∥CD，即G为AD中点。再由F为BD中点，可得GF∥AB。由于EF⊥AB，可得EF⊥GF。则EF和CD所成的角就转化为∠GEF，由CD=2AB=2可得，∠GEF=30°，则EF和CD所成的角等于30°。

【评述】学生往往因为无法找到异面直线的夹角或者线面角，而使得解题陷入困境之中。利用平移法，将异面直线平移至共面，此类问题便迎刃而解。这种三角形模型，为解决空间线线关系、线面关系以及夹角问题提供了行之有效的方法。

（2）解析几何的定值问题

例3 （2012年高考福建卷）如图4（1），等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线上E：x2=2py（y>0）上.

（1）求抛物线E的方程；

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

解析：（1）经计算抛物线方程为：E：x2=4y。（2）设P（x0，y0）将直线l的方程与y=-1联立，求得Q（，-1）。设M（0，y1），令·=0对满足y0=xx0≠0）的x0，y0恒成立。经计算，（y12+y1-2）+（1-y1）y0=0对满足条件的y0恒成立，所以1-y1=0y12+y1-2=0，解得y1=1。所以过定点M（0，1）。

【评述】例3中的关键条件是以PQ为直径的圆（如图4（2））。由此，我们将解析几何问题转化为直角三角形MPQ，从而简化我们的探究过程。

三、模型化教学的意义

初高中几何的教学外，在数学的教学系统中，教师应用模型化教学，可以大大提高文科生解决数学问题的能力。学生在学习的过程中，能够将习得的各种数学知识建立更加广泛而牢固的联系，使之概括化，系统化，形成具有稳定性、清晰性和可利用性的数学模型。

参考文献：

[1]宋玲玲.关于高中数学模型化教学方法的探析[J].教学方法.2011.03

[2]郑毓信.数学方法论入门[M].浙江：浙江教育出版社.2006.3-4.