任意边界条件下矩形板的面内自由振动特性*

王青山 史冬岩罗祥程

(哈尔滨工程大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

任意边界条件下矩形板的面内自由振动特性*

王青山 史冬岩†罗祥程

(哈尔滨工程大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

采用改进傅里叶级数法(IFSM)对矩形板在任意边界下的面内自由振动特性进行了研究.将结构的位移容许函数表示为包含正弦三角级数的改进傅里叶级数，正弦三角级数的引入能够有效地解决在边界处存在的不连续或者跳跃现象;将位移容许函数的未知傅里叶展开系数看作广义变量，采用能量原理建立结构的能量泛函，结合Rayleigh-Ritz法对未知傅里叶展开系数求极值，将矩形板的面内问题转换为一个标准特征值求解问题.通过大量的数值算例，并与现有文献中解及有限元方法计算结果进行对比，验证了文中方法的正确性，结果还显示文中方法具有良好的收敛速度与计算精度.

矩形板;面内振动;改进傅里叶级数法;任意边界条件

矩形板作为结构的基本构件，已经广泛应用在各个行业，例如航天飞行器、船舶、建筑等.因此，对于矩形板结构的动态特性是设计者比较关注的问题.然而，目前对于矩形板动态特性的研究大部分集中在弯曲振动或者是低频区域，而对于高频区域的结构动态特性研究较少.近年来的研究成果［1-6］表明，在很多实际工程应用领域中，需要同时考虑基础构件的面内和弯曲振动.例如，在机械领域中，由于加工与安装不确定性所带来的误差可能会导致实际加载载荷方向存在一定的角度偏差，进而引起基础结构的面内振动，危害整个结构的可靠性和安全性.另外，在由板结构组成的复杂工程结构中，其中的一个板单元在外载荷激励下产生了弯曲振动，在弯曲波传递至结构连接处时会产生波形转换，进而转化为面内纵波引起相邻结构的面内振动，在下一处结构连接处，又会转化为弯曲波动形式.因此，结构在高频区域工作时，面内振动对于结构的稳定性有着重要的作用.除此之外，面内振动对于高频振动或能量传输也起着重要作用，而且还与周围环境的辐射噪声存在直接关系.

Bardell等［7］采用正交多项式并结合Rayleigh-Ritz法对矩形板的面内振动特性进行了研究，讨论了简支、固支以及自由边界对于结构面内振动特性的影响.Farag等［8］采用分离变量法假设，建立了边界条件分别为简支与固支的矩形板面内振动响应的预报模型，并且与有限元计算结果进行了对比，验证了该方法的正确性.Gorman［9-11］提出了叠加法对自由、简支与固支边界下的矩形板面内振动问题进行求解，并且比较了弯曲振动与面内振动的简支边界条件的区别，随后结合面内问题的特殊性，给出了面内振动的两类“简支”边界条件问题.Xing等［12］提出了一种封闭的微分求积方法，对包含至少一组对边为简支的矩形板的面内振动进行了研究分析，与相关精确解求得的结果对比，发现该方法具有很高的计算精度.而国内目前的研究工作大部分都关注于矩形板的弯曲振动，对于其面内振动的相关研究较少，主要集中在面内振动的应用上，刘剑等［13］基于矩形板的面内振动开展了直线型超声电机的研制工作，李尧臣等［14］利用矩形板的面内振动开展了面内梯度材料的研究.

文献中大部分研究工作仅局限于简单的经典边界条件，而对于弹性边界的面内振动问题求解十分困难.然而在实际工程问题中，存在大量的均匀弹性边界，所以对于一般弹性边界下的矩形板面内振动问题一直是设计者关心的问题.因此开展一般边界下的矩形板结构的面内振动问题求解具有实际工程需求和意义.

文中基于改进傅里叶级数方法建立一般边界下矩形板面内振动分析模型.将面内位移容许函数表示为包含正弦三角级数的改进傅里叶级数，然后，利用能量原理建立起系统能量泛函，结合Rayleigh-Ritz法的求解步骤，将结构的振动问题转化为求解一个标准的特征方程组问题.最后通过大量的数值算例对文中方法进行验证.

1 矩形板面内振动理论模型

1.1 结构物理模型

文中建立的一般边界条件下矩形板结构模型如图1所示.在板结构x=0，x=a，y=0，y=b的4条边界上分别设置两类连续的弹性支撑，分别为法向与切向约束线性弹簧.通过改变法向与切向线性位移弹簧的刚度值大小来模拟一般边界条件，为了后续计算方便，规定:knx0(knxa)、kny0(knyb)分别代表x=0 (a)和y=0(b)边上法向线性位移弹簧刚度系数，kpx0(kpxa)、kpy0(kpyb)分别代表x=0(a)和y=0(b)边上切向线性位移弹簧刚度系数，边界约束弹簧刚度的单位为N/m2.当边界处的法向与切向约束线性弹簧刚度值设置为无穷大时，此时模拟的为固支(C)边界条件.若它们的刚度值设置为零，则能够简单地获得自由(F)边界条件.而对于面内振动，其存在两种类型的简支边界条件情况［11］.第1类“简支”边界条件表示为边界切向方向的位移为零，而法向的应力为零，也就等效于切向弹簧刚度值为无穷大，而法向弹簧刚度值为零，在这里用符号SS1表示.第2类“简支”边界条件表示为边界法向方向位移为零，而切向方向应力为零，等效于边界处的法向弹簧刚度值为无穷大，而切向弹簧刚度为零，在这里用符号SS2表示.若边界处的刚度值大小在上述取值之间，则能够得到均匀的弹性边界.边界条件符号排列顺序如图1所示.

图1 弹性边界条件下矩形板的结构模型Fig.1 Rectangular plate structure model in general boundary conditions

1.2 位移函数的级数表示

矩形板面内振动的控制微分方程可表示为［12］

式中，u为x方向的面内振动位移函数，v为y方向的面内振动位移函数，cL=［E/ρ(1-μ2)］1/2，ρ为密度，E和μ分别为板材料的杨氏模量与泊松比.

根据弹性力学平面应力关系，正应力与应变之间的关系如下:

在弹性边界处的边界条件可以成如下情况:

在x=0处，

在x=a处，

在y=0处，

在y=b处，

矩形板结构的面内位移容许函数通常可以被表示为

其中:Amn、Bmn为其未知傅里叶级数展开系数;Xm(x)和Yn(y)为保持与x方向和y方向具有相同边界条件的梁特征函数.而梁的特征函数往往是由传统的傅里叶级数和双曲线函数线性叠加得到.它们的未知系数由边界条件决定，因此，每当边界条件发生变化时，梁的位移容许函数也需要发生相应的变化.假如不发生相应变化，那么可以发现将基于传统的傅里叶级数展开的容许函数表达式进行相关的偏微分运算并代入表达式(6)和(7)，会在边界处产生吉布斯或者不连续现象.然而，对板结构而言，存在大量的边界条件，针对不同边界的求解将是一个非常繁琐的求解过程，实际应用中十分不便.

因此，基于上述原因，为了克服位移容许函数在边界处的不连续或者跳跃现象，文中提出了一种新的改进傅里叶级数方法，其能够适应结构的一般边界条件，也就意味着该位移级数表达式能够满足任意边界条件和控制微分方程.下文以x方向的梁特征函数为例来进行阐述.

x方向的特性梁容许函数可以表示为

式中:am为傅里叶级数展开系数，am=m/a;辅助函数P(x)为任意连续函数.由于新的位移容许函数需要满足任意边界条件，因此结合边界条件式(6)和(7)，可知P(x)必须具有一阶连续导数.那么P(x)必须满足以下条件:

式中，β0和β1代表任意的不为零的导数值.

除了满足结构任意边界条件，还需要满足控制微分方程，可知，P(x)还应具有二阶导数，因此P(x)至少含有两项.

将式(14)代入式(6)和(7)的边界条件中，可得

从上述式子可知，系数cn(n=1，2)是与边界约束条件β0、β1相关的，可以看出，采用改进后的傅里叶级数来描述的梁特征函数适用于任意边界条件下的振动求解问题.从数学意义上，

代表一个典型的误差容许函数，在整个求解域内是周期连续光滑的和具有连续一阶连续导数，并且具有良好的收敛性.因此，文中所提出的改进傅里叶级数法由于辅助项的增加具有以下优势:能够消除原有级数展开在边界处存在的不连续现象，使之能够适应于任意边界条件，这在实际工程应用上具有十分重要的意义;能够极大地改善传统傅里叶级数的收敛性.

综上所述，可知P(x)是一个未知的函数表达式，没有具体的表达形式.文中将采用三角正弦级数来进行表示，并且考虑整体公式的简洁性，与原有的传统三角余弦级数整合为一个整体表达式.因此，文中两种位移函数将采用改进傅里叶级数［15-16］来展开表示:

φam(x)、φbn(y)的表达式为

从表达式(18)-(19)可知，当m、n取值从0到无穷大时，此时的表达式可以构造成一个完整的无限维求解域，由前面的叙述可知，该表达式代表传统的傅里叶级数展开，在边界处的一阶导数存在不连续，二阶导数在边界处存在跳跃现象，对于一般的弹性边界条件并不适用.然而，文中在传统的傅里叶余弦三角级数表达式上，在每个方向上引入两项单项傅里叶正弦三角级数项(对应的m，n=-2，-1)作为辅助函数，从前面辅助函数的证明可知，由于结构的控制微分方程为二阶，并且要求边界条件一阶连续可导，因此文中在每个方向上只需引入两项辅助函数项即可满足要求.从数学上可知，傅里叶正弦三角级数的引入对于Θ(x，y)∈S:(［0，a］×［0，b］)能够展开并且一致收敛于任意函数g(x，y)∈C1.也就意味着改进傅里叶三角级数的一阶导数在整个结构区域连续并且二阶导数在边界上各点存在，可以满足任意边界条件(6)-(9).但是文中方法不只局限于矩形板结构的面内振动求解，对于不同结构振动求解问题而言，辅助函数的表达式也不尽相同，对于辅助函数的项数可按照前面所推导的步骤，只需要同时满足控制微分方程和任意边界条件要求即可，例如对于矩形板的弯曲振动而言，由于边界条件存在三阶连续可导，而控制微分方程存在四阶可导，因此需要四项辅助函数(对应的m，n=-4，-3，-2，-1).

1.3 基于能量原理的Rayleigh-Ritz方法求解

文中将采用Rayleigh-Ritz方法对结构能量进行表示，建立拉格朗日函数方程，然后将未知展开系数当作广义变量，并对广义变量进行求极值运算，得到关于结构固有频率的广义特征线性方程，通过求解线性方程组就可以求得矩形板结构的固有频率等振动特性参数.

矩形板结构的总势能由两部分组成，分别为板结构自身的应变势能Vplate和模拟弹性边界时储存在边界处的弹簧势能Vspring，可以分别表示为

当为一般弹性边界条件时，将弹簧考虑为无质量质点，此时结构的整体动能为

式中，p、h分别表示矩形板的质量密度、厚度，ω为结构固有频率.

板结构的拉格朗日函数为

将式(22)-(24)代入拉格朗日函数(25)中，对未知傅里叶展开系数求极值:

结构的振动问题将转换为一个求特征值与特征向量的简单数学问题，将其矩阵化可以表示为

式中:K=Ks+Kp，Ks是通过结构的应变势能得到的对称刚度矩阵，Kp是通过储存在边界的弹簧势能得到对称刚度矩阵;M是通过结构动能得到的对称质量矩阵;它们可以表示为

E为由未知傅里叶系数组成的列向量，可以用下式进行表示:

式(27)代表一个标准的特征方程组，矩形板面内振动的固有频率及其特征向量可以通过求解一个标准特征值问题而简单地获得.每一个特征向量实际上包含着对应结构模态振型的所有傅里叶展开系数，将它们代入位移函数式(18)、(19)即可得到真实模态振型.如果需要对某种载荷作用下的结构响应进行求解，仅需在系统的拉格朗日函数中增加外界载荷的做功项即可，最终在结构系统方程(27)的右侧出现一力向量.一旦矩形板结构的位移确定后，其他感兴趣变量便可以通过对位移函数直接进行相关数学操作而简单得到.

2 数值结果与分析

采用1.3节的理论模型，对不同边界下矩形板结构的面内振动特性进行了求解，将采用文中方法得到的计算结果与文献精确解以及有限元计算结果进行对比，以验证文中方法的合理性.在这些有限元数值算例中，其材料参数如下:密度ρ=7800 kg/m3，杨氏模量E=2.0×1011Pa，泊松比μ=0.3，有限元分析网格尺寸为0.01m×0.01m.而为了和现有文献解及有限元计算结果进行统一对比，在后续算例描述中，将所有的计算结果进行无量纲化处理，计算公式为Ω=ωa[ρ(1-μ2)/E]1/2.

首先对文中方法的收敛性与收敛速度进行研究，考虑完全固支(C-C-C-C)的边界条件，由上节的物理模型描述可知，面内振动C-C-C-C边界条件可以看作将所有的约束弹簧刚度值设置为无穷大的一种极端特殊情况.表1给出了在不同的截断项数与长宽比下该结构前6阶频率参数，为了进行对比分析，文献［7］中解作为参考值也在表1中列出.通过表1可以看出，与文献［7］中解相比文中方法取较小截断项数就能够得到足够精度的结果，并且随着截断项数的增加，求解的结果更加趋于一致，因此证明文中方法还具有良好的数值稳定性.不难发现，当M、N的值都取14时，其频率参数基本不发生变化，所以可以认为在此截断项数下，文中方法的求解结果已经完全一致收敛，因此在后续的数值计算中相应的采取截断项数M=N=14.

表1 矩形板面内固支边界条件下长宽比与截断值不同时的前6阶固有频率参数Table 1 The first six-order frequency parameters in the C-C-CC boundary condition with different aspect ratios and different truncated numbers

文中还将对自由边界条件(F-F-F-F)下结构面内振动特性进行分析，面内振动的F-F-F-F边界条件可以看作将所有弹簧刚度值设置为零的另外一种极端特殊情况.表2给出了F-F-F-F边界条件下各种长宽比矩形板前6阶频率参数，作为参考数据，现有文献［7］中精确解也在表2中列出.从表2可以看出，文中方法计算结果与文献［7］中精确解吻合良好.

表2 不同长宽比下F-F-F-F结构的前6阶固有频率参数1)Table 2 The firstsix-order frequency parameters in the F-F-F-F boundary condition with different aspect ratios

由理论模型可知，在矩形板的面内振动存在两类“简支”边界条件，表3给出了在第一类简支边界条件SS1-SS1-SS1-SS1下长宽比不同时其前6阶频率参数，表4给出了不同长宽比下SS1-F-SS1-F混合边界结构前6阶频率参数，表5给出了不同长宽比下SS1-C-SS1-C混合边界结构前6阶频率参数.从表3到表5可以看出，文中的计算结果与文献结果吻合良好，文中方法良好的计算精度再次得以体现.为了更好地理解第一类简支边界与第二类简支边界的区别，保持表4、表5其他参数不变，只将SS1边界换成SS2边界，其相应的计算结果在表6与表7中给出.通过表4与表6、表5与表7对比发现，两类简支边界条件对结构的面内振动特性影响具有较大的差异，为了更加形象地理解两者之间的差异，通过对比不难发现，SS2边界相对SS1边界来说对结构的影响更加强烈.

表3 不同长宽比下SS1-SS1-SS1-SS1结构的前6阶固有频率参数Ω1)Table 3 The first six-order frequency parametersΩin the SS1-SS1-SS1-SS1 boundary condition with different aspect ratios

表4 不同长宽比下SS1-F-SS1-F结构的前6阶固有频率参数Ω1)Table 4 The first six-order frequency parametersΩin the SS1-F-SS1-F boundary condition with differentaspect ratios

由前面理论模型的分析可知，文中不仅仅只局限于简单的经典边界条件，均匀的弹性边界条件也是文中所关注的一个重点.因此，最后给出一个弹性边界条件算例，其结构边界条件为 SS1-SS1-SS2-SS2，除此以外，在x=0、y=0边界存在法向弹性约束和在x=a、y=b边界存在切向弹性约束，四边边界的弹性约束刚度值大小相等，大小为nxa=nyb=px0=pyb=.表8给出了在不同值下结构前6阶频率参数，ANSYS的计算结果也列在表8中作为参考依据.当约束弹簧刚度值取无穷大时，通过与表1的计算结果对比可知，此时矩形板结果的边界条件完全退化为完全固支边界.图2给出了在=1时，结构前6阶模态振型图.通过图2可以发现，x=0、y=0法向约束弹簧刚度的改变对于结构的面内振动信息的改变更为敏感，因此，法向约束在整个结构的面内振动占据主要作用，也就意味着能够通过改变法向约束弹簧刚度值的大小来改变结构的面内振动模态.

表7 不同长宽比下SS2-C-SS2-C结构的前6阶固有频率参数Ω1)Table 7 The first six-order frequency parametersΩin the SS2-C-SS2-C boundary condition with different aspect ratios

表8 在边界x=0、y=0法向约束和x=a、y=b切向约束的边界条件下SS1-SS1-SS2-SS2结构的前6阶固有频率参数Ω1)Table 8 The firstsix-order frequency parametersΩfor a SS1-SS1-SS2-SS2 square platewith normal restraints at x=0 and y =0 aswell as tangential restraints at x=a and y=b

图2 在边界x=0、y=0法向约束和x=a、y=b切向约束且=1时边界条件为SS1-SS1-SS2-SS2方板的前6阶面内结构模态Fig.2 The first six-model shape for an SS1-SS1-SS2-SS2 square plate with normal restraints x=0 and y=0 as well as tangential restraints at x=a and y=b when=1

3 结论

文中基于改进傅里叶级数方法建立了一般边界条件下矩形板的面内自由振动分析模型.该方法主要是将结构的面内振动位移函数利用改进傅里叶级数形式进行展开.在结构的边界处采用两类弹簧均匀布置来模拟任意边界支撑条件.将未知系数作为广义变量，结合Rayleigh-Ritz法对未知傅里叶展开系数求极值，将矩形板的面内问题转换为一个求解标准特征值问题.通过大量的数值算例验证了文中方法的正确性和可靠性，并得出以下结论:

(1)任意边界条件下的矩形板面内容许函数可表示为一种通用的改进傅里叶三角级数形式;

(2)对级数进行截断后，随着截断项数的增加，计算结果快速收敛，并且数值稳定性很好;

(3)当改变边界条件时，文中方法不需重新推导及编程，只需改变边界约束弹簧刚度即可快速获得板结构面内振动特性.

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In-Plane Free Vibration of Rectangular Plates in Arbitrary Boundary Conditions

Wang Qing-shan Shi Dong-yan Luo Xiang-cheng
(College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China)

This paper dealswith the in-plane free vibration of rectangular plates in arbitrary boundary conditions via the improved Fourier seriesmethod(IFSM).In the investigation，first，the admissible functions of the plate displacement are expressed as an improved Fourier sine series to overcome the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions.Then，the unknown expansion coefficients of the admissible functions are considered as generalized variables and are determined by using the Rayleigh-Ritz technique combiningwith the energy functional based on the energy theory.Thus，the common in-plane vibration problem is converted into a standard eigenvalue problem.Finally，the results of rectangular plates in various boundary conditions are presented and are compared with those in the literature and with those obtained by the finite elementmethod.It is found that the proposed method is of strong reliability，good convergence and high accuracy.

rectangular plate;in-plane vibration;improved Fourier seriesmethod;arbitrary boundary condition

s:Supported by the Key Program of Chinese Defense Advance Research Foundation of China(401040XXX0103) and the National Natural Science Foundation of China(51209052)

O342;TB532

10.3969/j.issn.1000-565X.2015.06.020

1000-565X(2015)06-0127-08

2014-06-16

国防预研重点项目(401040XXX0103);国家自然科学基金资助项目(51209052)

王青山(1989-)，男，博士生，主要从事结构减振降噪技术研究.E-mail:wangqingshanxlz@hotmail.com

†通信作者:史冬岩(1965-)，女，教授，博士生导师，主要从事现代设计方法学研究.E-mail:shidongyan@hrbeu.edu.cn