综合 实践 探究

李行达

摘 要：函数是在探索具体问题中的数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。通过对2014年部分省市中考试题的分析，探讨了函数这一部分内容在中考命题中呈现出的新动向。

关键词：函数；综合；实践

近几年的中考函数内容试题主要关注：将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；借助多种现实背景理解函数；通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；关注函数与相关知识的联系；通过实际问题情境分析确定函数的表达式等。现探讨二次函数知识的考查新动向：

一、将函数与几何变换相结合

例：（2014·温州）如图1，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（ ）

A.一直增大 B.一直减小

C.先增大后减小 D.先减小后增大

分析：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周长始终保持不变，则a+b为定值.根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k=AB·AD=ab，再根据a+b一定时，当a=b时，ab最大，可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小.

把图形与变换与函数相结合，既考查了学生几何建模以及探究活动的能力，又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力，是近几年命题的重点.

二、突出考查数形结合的思想

“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念。每一个几何图形都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过几何图形予以直观的反应和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。函数是初中数学的核心内容，其结构特点主要体现为更高的抽象性，体现着“数与式”“图形”和“图表”的结合及转化的关系，体现着相互依赖的两个变量之间的变化规律。

例：（2014·泸州）如图2，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a>3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（ ）

A.4 B.3+

C.3 D.3+

解：如图3，作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D点坐标为（3，3），

∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4=2，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE==1，

∴PD=PE=，

∴a=3+.

故选B.

平面几何与函数相结合，既考查了学生几何建模以及探究活动的能力，又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力，是近几年来全国各地数学中考的热点题型，备受命题者的青睐。其基本的命题立意是通过在平面直角坐标系中将函数与平面几何中的三角形、四边形以及圆等知识结合起来。解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题的目的。

三、建立数学模型，解决应用问题

数学建模是培养学生实际应用能力的重要途径，是数学教育改革发展的方向。在新课标高中教材中还将学习数学模型、建模方法以及用数学建模来解决实际问题的步骤。这就要求教师在平时教学中要引导学生逐步养成用数学的眼光看待周围事物和现象的习惯，激励学生将所学数学知识和方法应用于现实生活，体会数学应用的价值，进而形成数学建模意识，促进数学素质提高。

例如，（2014年四川资阳）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=-20x1+1500（0

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完.在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润.

分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；

（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据函数的增减性求出最大值即可.

解答：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20-x）台，

由题意得，x≥（20-x） ①-20x+1500≥1200 ②，不等式组的解集是11≤x≤15，

∵x为正整数，

∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案.

（2）设总利润为W元，

y2=-10x2+1300=-10（20-x）+1300=10x+1100，

则W=（1760-y1）x1+（1700-y2）x2，

=1760x-（-20x+1500）x+（1700-10x-1100）（20-x），

=30（x-9）2+9570，

当x>9时，W随x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，W最大值=30（15-9）2+9570=10650（元），

答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元.

本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用：（1）关键在于确定出两个不等关系；（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式.

四、突出函数知识的探究性

近年来，中考试卷加强了对探究能力、获取信息和处理信息能力、空间观念操作能力和综合运用数学知识解决问题能力的考查力度，加强对学生数学思维过程和思维方法的考查。课标中对函数的基本性质达到Ⅲ级（探究性理解水平）。要求能把握函数的本质及其内容、形式的变化；能从实际问题中抽象出函数模型或作出归纳假设进行探索，能把具体的现象上升为函数本质联系，从而解决问题；会对函数进行扩展或对数学问题进行延伸，会对解决函数过程中的合理性、完整性、简洁性的评价和追求作有效的思考。

例如，（2014·扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图4中的一条折线（实线）来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元（不包含债务）.

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；

（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案.

从中考探究性试题设计的实践来看，此类试题的设计不应孤立地对基础知识和基本技能进行测试，而应放在分析和解决数学问题的背景中去评价，应体现情境性、探究性、开放性和实践性的统一，为那些在日常教学中实实在在进行过探究式学习的学生提供施展才能的机会.

总之，在函数教学中，应加强问题变式的研究。数学问题的演变是从基础问题出发进行变化，对学生的思维能力要求较高，但仍有一定的方法可循。教师应引导学生根据现有的思维水平，把碰到的数学问题转化为熟悉的或容易解决的数学问题，变中求解、解中求变。

参考文献：

王伟.数学变式百例精讲[M].宁波出版社，2006.

编辑 王团兰