三角函数恒等变换七字诀

唐兴隆

众所周知，三角函数是高考中的必考题之一。而考试题型一般有两种，一是考查三角函数的图像和性质，二是考查三角形中的三角函数问题。而无论是哪一种，都离不开三角恒等变换，而三角恒等变换又是以三角函数定义和众多公式的理解和记忆为基础的，能否熟练理解和记忆公式、应用公式成为能否得满分的关键。而我在教学中发现学生在学习过程中有两个难点：一是在记忆公式时，只能死记硬背。二是应用公式时只能堆砌公式，不能将公式用活。那么如何解决这个问题呢？教学中应从哪几个方面下工夫呢？下面结合自己的教学体会谈两点看法。

一、记忆公式三字诀：顺、逆、变

要记忆公式，首先要搞清公式的来龙去脉，理解其推导过程。教学中要求每个同学都能自己推出公式，因为推导过程中有很多思维方法在后面解题时还会用到。然后从顺用、逆用、变用三个方面加深对公式的认识和理解，避免死记硬背。

例一：（2013·江西高考文科）若sin=，则cos a=（ ）

A.- B.- C. D.

【解题指南】直接利用二倍角的余弦公式即可.

【解析】選C.cos α=1-2sin2=1-=.

例二：（2013·新课标全国Ⅱ高考文科）已知sin 2α=，则

cos2（α+）=（ ）

A. B. C. D.

【解题指南】利用“降幂公式”将cos2（α+）化简，建立与

sin 2α的关系，可得结果.

【解析】选A.因为cos2（α+）===，所以cos2（α+）===，选A.

二、解题的思维方向四统一：角、名、幂、形

在解题时如何应用公式？如何思考呢？要在教学中给学生创设情景，引导学生观察题目中的角有哪些，函数名称有哪些，每一项的次数是多少，结构是怎样的。特别是角的差异，名称的差异，幂的差异，结构的差异。然后考虑如何应用公式逐渐缩小差异，最终形成统一，即统一角，统一名称，统一次数，统一结构。最终完成恒等变换，化繁为简。

例三：化简：sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos2α·cos2β= .

方法一：（从“角”入手，复角→单角）

原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·（2cos2α-1）·（2cos2β-1）

=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·（4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1）

=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-

=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-

=sin2β+cos2β-=1-=

方法二：（从“名”入手，异名化同名）

原式=sin2α·sin2β+（1-sin2α）·cos2β-cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α（cos2β-sin2β）-cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α·cos2β-cos2α·cos2β

=cos2β-cos2β·（sin2α+cos2α）

=-cos2β·[sin2α+（1-2sin2α）]

=-cos2β=.

方法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

原式=·+·-cos2α·cos2β=（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+（1+cos2α·cos2β+

cos2α+cos2β）-cos2α·cos2β=.

方法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

原式=（sinα·sinβ-cosα·cosβ）2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-cos2α·cos2β

=cos2（α+β）+sin2α·sin2β-cos2α·cos2β

=cos2（α+β）-·cos（2α+2β）

=cos2（α+β）-·[2cos2（α+β）-1]=.

答案：

综上所述，若想学生全面把握三角恒等变换的技巧和方法，首先必须要求学生从顺、逆、变三个方面牢记公式，然后从角、名、幂、形四个思维方向加强对学生的指导和训练，方能完美。

编辑 王团兰