奇妙的平方数

卡佳坦·波斯基特

还记得你是从什么时候开始接触数学的吗？你学会的第一件事就是从1数到10。一旦你学会了数数，你会觉得自己非常聪明，因为你能回答这样的问题，如“紧跟在3后面的数字是几”。但是随后的事情变得要命起来，平方数出现了！

平方数

你可能知道平方是一个数乘以它本身，可以在该数的右上方标一个小“2”来表示。因此，如果有人问你“3的平方是多少”，你可以写出32=3×3=9。

我们常常把求某个数的平方简称为“求平方”。有趣的是，你可以用算子来求平方。

右边是一个3×3算子方阵，总共有9枚算子。

现在我们动手写下0～10之间的数并求它们的平方，结果列在下表。

你发现了吗？它们的末位数按照一种固定的方式变化：0—1—4—9—6—5—6—9—4—1—0。下面是10～20之间的数的平方，它们也会遵循同样的方式变化哦！

假如有人问你“578908的平方是多少”——哇，这太难了！但是有一点你可以直接告诉他——答案的末位数一定是4。

求更大的平方数

在前面，我们求3的平方，需要9枚算子。现在求4的平方，还需要多少枚算子呢？

你可以这样做：先沿着底边放3枚算子，然后在右边放4枚算子，让3×3算子方阵变成4×4算子方阵。那么把3的平方变为4的平方还需要3+4=7（枚）算子。如果我们把它转化成算术计算，就是32+3+4=42。

平方差

给一个数的平方加上某一个数，得到另一个数的平方，这个数被称为“平方差”。例如，4和3的平方差是7。那么平方差之间会不会遵循一些规律呢？我们往下看吧！

到目前为止，我们只是通过给底数增加1来加大它的平方。现在，我们要加大难度了！当从4×4跨越到7×7时，你会感觉世界真奇妙，因为这涉及数字世界里最酷的“诡计”……

开始在7×7算子方阵内有49枚算子，我们移去顶部的算子，再移去左边的算子，最后剩下4×4算子方阵。那么我们一共移去了多少枚算子呢？

现在所有移去的算子组成了一个长方形，长是（7+4）枚算子，宽为（7-4）枚算子，那么长方形内算子的数量是（7+4）×（7-4）枚。因此，一共移了72-42=（7+4）×（7-4）=11×3=33（枚）算子。

★知识点链接：两个数的平方差等于这两个数的和与它们的差的乘积。