关注时事下的“不等关系与不等式”课例设计

●韩 蕾 (宁波市第二中学 浙江宁波 315000)



关注时事下的“不等关系与不等式”课例设计

●韩 蕾 (宁波市第二中学 浙江宁波 315000)

笔者有幸参加了浙江省宁波市第9届特级教师带徒活动.此次活动内容为同课异构人教A版普通高中必修5第3章第1节“不等关系与不等式”的第1课时，笔者在“关注时事，串联课堂”的想法下设计了以下这节课，并欲通过该教学设计来抛砖引玉，与同行交流.

1 教学过程

1.1 赏实例，直观不等

师：相信大家都听过孔融让梨的故事吧！孔融在4岁时就知道梨有大小，并把大的让给了别人.其实我们每个人在很小的时候，对于事物的不等关系都有了直观的感知，比如：大小、高矮、轻重等等.现在请大家说说你在生活中遇到的不等关系.

全班学生的热情被调动起来了.笔者请4位学生说了他们眼中的不等关系.

师：同学们观察生活都很细致啊！那么如何用数学知识来描述生活中的这些不等关系呢？

生1：不等式.

师：对了.这也就是我们今天上课的课题“不等关系与不等式”(板书课题).

(PPT展示常用的不等号：>，<，≥，≤，≠.)

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

“不等号”由英国数学家哈里奥特于1631年开始使用，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的符号.

师：看来，任何事情的成功都可能会经历曲折的过程.希望我们今天的课是“趣而不折”.

设计意图 从一个古代的小故事出发，让学生感受到数学中的不等关系其实并不陌生，让学生寻找身边的不等关系，让他们加深对不等关系的认识.介绍这个“不等号”的小插曲，渗透了数学史和数学文化.

1.2 识关系，思考不等

师：今天，我也给大家准备了几个生活中的不等关系.让我们随着这个2014年让人揪心的报道，进入这节课的第2个环节“思考不等”.

报道：2014年3月8日凌晨，马航370客机在从吉隆坡飞往北京的过程中失联，而燃油最多支持7个小时.自3月8日起，MH370航班在失联后共有26个国家参与了飞机的搜救工作，动用了包括飞机、船舶、潜艇、卫星等一切可能的技术手段，已经至少花费了4 400万美元，全球搜救超过一个月……

师：请同学们将这个用文字语言叙述的不等关系转化成用符号语言表示的不等式.

(PPT展示:文字语言⟹符号语言,不等关系⟹不等式.)

生2：表示不等关系的词语有：最多、至少、超过.

生3：01.

师：其实在很多媒体的报道中，都会出现类似表示不等关系的语句.比如说最近刚闭幕的两会报道中，就有很多类似的词语.

(PPT展示新闻标题图片.)

1)习进平：中国至少还有10年到20年快速发展机遇期;

2)李克强：2014年财政用于民生的比重达到70%以上;

3)李克强：去年出境旅游超过1亿人次.

师：我们要做有心人，用数学的眼光去看生活，你会发现原来……

生4：数学真的来源于生活.

师：再回到两会中，在一次答记者问中，李克强总理说，他也网购过，最近还买了几本书.我们的总理也网购哦！

学生们会心地笑了.

师：我有一个朋友也是开网店的，是一家网上书店.他现在碰到了一个困惑,请同学们帮忙来解决.

例1 某售书网店统计，若以2.5元销售一种杂志，一个月内可以卖出5 000本.根据大数据统计分析，若单价每提高0.1元，销量会减少50本.若提价后价格为x元，请同学们用不等式表示提价后销售的月总收入不低于12 500元.

思考片刻后:

师：还有补充吗？在求解出的范围内所有的值都是符合实际情况的吗？

生6：书价不会定价为小数点后2位吧！

生7：书价也应该不会是无理数吧！

生8：因此还应该加上条件：10x=k,k∈Z.

师：很好，用不等式表示生活中的不等关系时，确实得考虑一些实际情况.

师：某学校决定要用书来奖励学生，鼓励他们多阅读.在这个购书过程中又会出现什么不等关系呢？请看题.

例2 某学校有3 000元经费要去购书《平凡的世界》奖励同学.据网上报价，精装的全套87元，普通装的全套56元.由于经费有限，精装的数量不能超过普通装的2倍，写出满足上述不等关系的不等式.

(分析过程略.)

设计意图 例1和例2来源于课本，但是课本中习题背景过于生硬，故笔者通过两会中的一些报道将例题串联起来，这样过渡更自然.以总理网购书为引入，以售书网店为媒介，以学校购书奖励学生为缘由寻找生活中的不等关系，让学生感受亲切.让学生多阅读，可以传递正能量.

1.3 究所以，证明不等

练习1b克糖水(未饱和)里含a克糖(其中b>a>0)，现加入m克糖，糖水变甜了.请写出其中蕴含的不等关系.

师：这个不等式我们可称之为“糖水不等式”.

师生共同把这个不等式归纳成文字语言：一个正的真分数，分子、分母同时加上一个正数，分数值变大了.

师：如何证明这个不等式呢？

生10：作差比较法.

师：你的这个证明思路是源自哪里呢？

(让学生略作思考和讨论后PPT展示：类比实数比大小：a>b⟺a-b>0,a=b⟺a-b=0,a

师：2个实数比大小的结论是我们已经知道的基本事实，它其实是将实数比大小问题转化成了符号的判断问题.我们之后要学习的一些不等式性质都是从这个基本事实引出来的.

师生共同分析证明过程，总结成证明步骤是：一作差;二变形，变形成几个因式相乘的形式;三定号;四结论.

师：这个证明过程和我们刚学习过的定义法证明单调性很相似.

设计意图 笔者上课的学校是浙江省宁波市镇海中学，该校是全国名校,学生的数学能力都非常好.如果按照课标要求只上第一部分内容“用不等式表示生活中的不等关系”，对学生来说稍显单薄.理解教材的同时也要理解学生，因此从实际的学情出发，笔者设计了“证明不等”这块内容.

1.4 品生活，感悟不等

师：在习主席的带领下，我们的生活越来越好了，很多人都换了大房子住.我们都有这样一种常识，大房子的采光要比小房子的好.这其中是不是也蕴含了什么数学知识呢？我们来看下面这一道练习.

练习2 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.据调查发现同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了.请用不等式表示问题中的不等关系.

(讲解分析过程略.)

师：原来这个“糖水不等式”还可以解释建筑中的数学哦.那么能否用它来解释以下这个生活现象呢？

(PPT展示:当一个人的身材比例为黄金分割值0.618时是最优美的，而一般人，下半身为x(肚脐眼以下部分)与全身长y的身材比例为0.57～0.6之间.你能解释为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起就可以给人一种美的享受吗？

(师生讨论略.)

师：女性在日常生活中为了追求这个最美的身材比例，怎么办呢？

众生(笑)：穿高跟鞋啊！

师：那是不是高跟鞋的鞋跟越高就越美呢？课后可以去研究一下.当然现在还是更要追求内心美哦！

师：课的最后，请同学们谈一谈这节课的收获.

(学生回答略.)

(PPT展示:1)不等关系与不等式；2)比较、证明问题.)

师：最后，送大家一副对联.上联是：赏实例，赏古赏今，万物均含不等；下联是：识关系，识表识里，万式究其所以;横批：感悟不等.

(布置作业略.)

设计意图 从“糖水不等式”出发，让学生更深刻地去体会生活中的不等关系与数学中不等式的联系.因为学生的学习能力很强，所以笔者加入了“证明不等”这个内容，以期让这堂课的内容更为丰满，更好地满足学生的求知欲.

2 课后感悟

本节课让学生通过一个古代耳熟能详的小故事，感受生活中丰富多彩的不等关系，并且去体会用不等式(组)来刻画生活中的这些不等关系.让学生感受到数学来源于生活，学会用数学的眼光去看问题.

2.1 关注时事，情景驱动

有人将一堂课比作一道菜，这道菜的味道如何，一方面取决于厨师的厨艺，另一方面还取决于食材是否丰富[1].对于不等关系与不等式第1课时的内容而言，食材看上去是很简单的.如何将这看似单一的内容生动化，教师就不应该是“教教材”，而是要“用教材”.笔者查阅了人教A版必修5的第1版(2007年版)，书中对于生活中的不等关系的介绍是一直沿用至今的.因此笔者认为要将课堂变生动，首先得对教材中的例子进行包装.结合当下的时事，笔者从马航失联开始讲起，到两会中的一些报道，设计了例题.在这样的情景驱动下，学生表现得更为有兴趣和积极.课堂中，“教师的引导”与“学生的主体”适时交替，勾画出一副和谐的课堂教学师生互动画面[2].

2.2 联系生活，激发兴趣

兴趣是学习最大的驱动力.对于这个“糖水不等式”，笔者让学生观察生活中的几个常见现象，结合不等式进行分析.例子有趣又贴近生活，笔者适时地引导学生积极讨论、思考.在课的后半部分，由于学生的热烈讨论，让课堂气氛再次达到高潮.在学习中能让学生感受“数学无处不在”，也引导他们用“数学的眼光去看生活”，并且要善于思考生活中的一些现象.

2.3 人文关怀，传递能量

笔者认为学校对学生的育人可以在课堂中进行渗透，达到“随风潜入夜，润物细无声”的作用.在本节课中，笔者以媒体对马航的报道为例开始新授课，告诉学生作为一个新时代的年轻人，要在“读圣贤书”的同时也要“闻窗外事”;在设计“李克强总理购书”这个细节时，笔者倡议学生也要多阅读，做个真正的读书人;在女性穿高跟鞋追求美时，笔者的一句“我们更要追求内心美”，引导学生要有正确的审美观.课堂中，笔者试图通过这样的细节，向学生传递正能量,让“育人理念”在课堂中自然地流淌.

当然，教学是一门遗憾的艺术,当我们在反思一堂课时，总会有这样或那样的不满,因此笔者期待同行们的批评和指正.

[1] 俞宏达，吕增峰.添加生活的“佐料”，烹制课堂的“浓香”——例谈《不等关系与不等式》一课生活实例的选取[J].中学数学，2014(7)：60-61.

[2] 俞昕.平凡中闪耀出数学的本质——赏析一堂常态课“数列的概念与简单表示法”[J].中学教研(数学)，2015(3)：12-13.