必要条件论解题 稳扎稳打见功底

诸杰锋 (杭州市第九中学 浙江杭州 310020)



必要条件论解题 稳扎稳打见功底

诸杰锋 (杭州市第九中学 浙江杭州 310020)

数学解题的过程，重要的是展示思考问题的思维过程，理解数学问题的本质，从表象中梳理出解决问题的关键，归结到底就是充要条件变形的演化过程．通过研究近几年的各地数学高考试卷，发现一些试题都能通过转换思考角度，运用必要条件简洁明快地解决问题.下面以这些试题为例，阐述必要条件在解题中的应用．

1 善用必要条件求参数值

例1 设a∈R，若x>0时均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

则a=______．

(2012年浙江省数学高考理科试题第17题)

解 当x>0时，不等式

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

恒成立的必要条件是当x=2时成立，即

[2(a-1)-1](22-2a-1)≥0，

得

(2a-3)2≤0.

又(2a-3)2≥0，故

(2a-3)2=0，

从而

评注 本例若按常规思路，令

f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1)，

把问题看作f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，然后用导数知识去讨论求解，也可以求解，但过程繁杂，甚至有些学生做不下去，半途而废．而利用必要条件则可避免“小题大做”，其解法简洁明快，实在是精彩巧妙．

例2 设a,b∈R，若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2，则ab等于______.

(2013年浙江省数学高考文科试题第16题)

解 当x≥0时，不等式

0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2

恒成立的必要条件是当x=1成立，即

0≤a+b≤0，

故

a+b=0，

于是x4-x3+ax+b=x4-x3+ax-a=

(x-1)(x3+a)≥0.

当0

综上可得a=-1，从而b=1，ab=-1．

评注 本例充分运用必要条件“两边夹”得到a+b=0，这是求解本题关键的一步．

2 善用必要条件求参数范围

例3 已知集合M={(a,b)|a≤-1,且b≤m}，其中m∈R．若对任意(a,b)∈M，均有a·2b-b-3a≥0，求实数m的取值范围．

解 对于任意(a,b)∈M，不等式a·2b-b-3a≥0恒成立的必要条件是当a=-1，b=m时成立，即

-1·2m-m-3·(-1)≥0，

亦即

2m+m-3≤0.

令f(m)=2m+m-3,则f(m)在R上单调递增，且f(1)=0，得m≤1．当m=1时，2b+b-3≤0，故对任意a≤-1，b≤1，都有

a·2b-b-3a≥a·2b-3-3a=

(a+1)(2b-3)≥0

成立．因此所求实数m的取值范围为m≤1．

评注 试题以“集合”的形式出现，简洁新颖，其实质是对任意的a≤-1，且b≤m，不等式a·2b-b-3a≥0恒成立，常规解法是采用“主元法”，但需分类讨论，解题过程实在繁琐．若先运用题设的必要条件得到参数m的范围，再结合题意对m=1的情形作充分性验证，其过程要简洁得多，思路也比较新颖．

例4 设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,其中a>0．

1)求f(x)的单调区间；

2)求所有实数a，使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立．

注:e为自然对数的底数．

(2011年浙江省数学高考文科试题第21题)

解 1)f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,+∞)．

2)对x∈[1,e]，不等式e-1≤f(x)≤e2恒成立的必要条件是

f(1)=a-1≥e-1,

即a≥e．由第1)小题知f(x)在[1,e]内单调递增，要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立，只要

解得a=e．

评注 本例第2)小题的常规思路是分00缩小为a≥e，明确了函数单调性，回避了分类讨论，优化了解题过程．事实上只需利用题设的必要条件

即可迅速获得问题的结果a=e，再作充分性验证，达到简捷求解，实现“大题小做”的效果．

3 善用必要条件妙证不等式题

评注 在不等价变形中，放缩的关键在于恰当．“放缩得太大或不够”，都会让解题过程陷入死胡同．尤其在一些数学竞赛中，缩放的关键点是一个很小的区间，如何修正放缩的结果是很关键的．“放缩得过了就回一点点”，“放缩得不够就要将力度扩大”，适当修正公式，选择合适的公式或定理．

证明 (2n)2>(2n)2-1=(2n-1)(2n+1)，

故

随着食品行业的发展，功能性食品的研究与开发已经成为食品领域的前沿和热点，为了更好地学习“功能性食品”，将学习的知识点应用到实际生活中去，要对课程的教学内容进行重组，围绕学生在毕业后在食品、保健品行业从事功能性食品辅助开发、生产、检测、销售等工作所需要的综合能力和职业素养进行教学项目的选取，实时了解行业、企业的发展动态，对课程的教学内容进行实时更新，保证教学内容与岗位要求的一致性[3]。课程组及时修改教学计划，使课程教学项目紧跟行业发展和企业需要。

(1)

即

代入式(1)得

评注 本题的关键在于把根式或其他式子换成2个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩2头．数学思想中的转化与化归，要求学生能够正确处理等价变形与不等价变形，以期达到完美的解题要求．转化与化归，最重要的是找到合适的构造结论．

4 善用必要条件探求存在性问题

1)求f(x)的单调区间.

解 1)当a=-1时，f(x)的递增区间为(-∞,+∞)，无递减区间；

当a>-1时，f(x)的递增区间为(-∞,-1)和(a,+∞)，递减区间为(-1,a)；

当a<-1时，f(x)的递增区间为(-∞,a)和(-1,+∞)，递减区间为(a,-1)．

从而

-2≤f(1)-f(0)≤2，

即

解得

即

解 由题意得

从而

解得

故a=1.再结合-1≤f(0)≤1,-1≤f(1)≤1可得b=1，经验证，实数对(a,b)=(1,1)符合题意．

例8 已知函数f(x)=x3+(m+2)x2+(2m+1)x(其中m≠R)．设函数f(x)除0外还有2个不同的零点x1，x2(其中x1x2≠0，且x1f(-4)恒成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由．

解 由f(x)=x3+(m+2)x2+(2m+1)x=0得

x=0或x2+(m+2)x+2m+1=0.

Δ=(m+2)2-4(2m+1)>0，

即

由f′(x)=3x2+2(m+2)x+(2m+1)=0,得

1)当m>4时，由

x1+x2=-(m+2)<0,x1x2=2m+1>0

知x1<0,x2<0，且

x1

8m-36,

化简得

(m+8)(2m-11)2>0，

从而

m>-8，

故

以上几例难度较大，而善用必要条件解题，则可化难为易，化繁为简，避免“小题大做”，甚至实现“大题小做”．因此有意识地善用必要条件解题，能缩小目标范围，打开解题思路，优化解题策略，提升思维品质．但是利用必要条件解题所得结果的严谨性往往有待于探究，因此要对所得结果作进一步的检验或证明．在平时我们只能作适当地变化和拓展训练，开阔视野，培养动态思维，锻炼数学思想，积累解题经验，提高应变能力，创造性地使用所学知识，才能从容地善用必要条件解题．

[1] 郭志祥．“正”“误”例析“充分、必要条件”在解题中的应用[J]．中学数学，2013(7)：93-95．

[2] 余锦银．高中数学审题策略[J]．数学教学研究，2009(3)：27-31．