简中求道——利用二项式定理的放缩功能解题举例

杨元韡 (常州高级中学 江苏常州 213003)



简中求道
——利用二项式定理的放缩功能解题举例

杨元韡 (常州高级中学 江苏常州 213003)

数学的简洁美是数学重要的美学特征．数学中有一些重要公式(如二项式定理表达式)结构对称，体现了数学公式的对称美.灵活运用它，可以简捷地解决某一类问题，其过程也体现出数学的简洁美．二项式定理可以把指数式放缩成适当的多项式(往往通过去掉某些正项的方式)，从而可以简捷明快地解决以“底数大于1的指数函数比多项式形式的函数增长的速度快”为命题背景的问题．这类问题通俗地表达，就是当a>1时，函数y=an将随着n的增大会“爆炸式”地增大，如常用于励志的“1.01365≈37.8”正说明了这个道理．下面笔者给出利用二项式定理放缩功能解题的一些例子，说明二项式定理放缩功能的应用使得问题的解决更加简捷、漂亮．

1 利用二项式定理放缩证明数列不等式

在数列的综合问题中，常常出现求某个数列的最大项或者最小项，这类问题往往可以转化成考查数列的单调性问题．而研究数列单调性的基本方法有：作差法、作商法(正项数列)、考察相应函数的单调性(利用导数研究函数的方法)等．对于通项公式为an=an-g(n)(其中常数a>1，g(n)是关于n的多项式)的数列{an}项的符号判断，可以尝试使用二项式定理放缩来解决．

1)求an和bn.

①求Sn；

②求正整数k，使得对任意的n∈N*，Sk≥Sn．

(2014年浙江省数学高考理科试题)

分析 我们主要研究第②小题，其实质是求{Sn}最大项的项序号．为此，可采用作差法研究{Sn}的单调性，即判定Sn-Sn-1(其中n≥2)的符号，亦即判定cn的符号；再利用作差法研究数列{cn}的单调性即可．根据数列的结构特点，也可以尝试使用二项式定理解决．

因此，当n≥5时，cn<0．

综上所述，对任意的n∈N*，S4≥Sn，即k=4．

n2+n+2>n(n+1),

这里n≥5，故2n展开式至少有6项，从而

综上所述，对任意的n∈N*，S4≥Sn，即k=4．

2 利用二项式定理放缩证明函数不等式

我们知道，形如f(x)=ax-g(x)(其中a>1，g(x)是关于x的多项式)的函数，只要x充分大，总会有f(x)>0．尽管这个模型是连续的函数模型，但有时可以先将它转化成离散模型(如数列模型)，再利用二项式定理也能简捷明了地加以处理．

例2 已知函数f(x)=ex，g(x)=ax2+bx+c．

1)，2)略.

3)若b=c=0，试证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，当x∈(m,+∞)时，恒有f(x)>g(x)成立．

(2015年江苏省扬州市高三期末考试试题)

分析 本题实际上就是证明对任意给定的正数a，存在正数m，当x∈(m,+∞)时，恒有ex>ax2．常规的方法是利用导数的方法解决，为此需要构造新函数来处理，但需要多次构造函数．但基于这2个函数结构的特殊性，也可尝试使用二项式定理来解决．

证法1 当0x2>ax2恒成立．只要证明当a≥1时，总存在正数m，当x∈(m,+∞)时，恒有ex>ax2成立即可，也就是

x>2lnx+lna．

t(x0)=e2a-4-3lna>7a-4-3lna>

4(a-1)+3(a-lna)>0,

这里实际上还需要证明a-lna>0，即存在m=ae2，当x∈(m,+∞)，恒有f(x)>g(x)成立．

证法3 考虑x>6，并设n≤x

ex>2x≥(1+1)n=

待证不等式右边可以放大，作如下放缩：

ax2

(注意当n≥6时，有n+1<2n-4).

从而取m=max{6,24a+3}，当x>m时，有ex>ax2．

评注 证法1和证法2都是利用导数的符号去研究函数的单调性，需要多次构造新的函数，不断研究这些新的函数，最后获解，但相对而言证法1的取值是比较困难的．证法2和证法3的共同之处在于，插入了一个三次多项式结构的中间量：证法2利用导数巧妙地证明了ex大于一个三次多项式函数，再证明当x充分大时，三次多项式函数大于二次多项式函数；证法3先把连续的函数放缩成离散的数列模型，待证不等式的左边缩小成关于正整数n的三次多项式，右边放大成关于n的二次多项式；证法3的优点是简洁，回避了所有函数的求导问题．

3 利用二项式定理放缩判断方程的解的问题

在数列问题中，常常出现判断某个值是不是该数列中的项，或者数列中是否有某3项成等差(或等比)等问题，这类问题最终都可转化成某些方程是否有正整数解的问题．如果这个方程中既有形如an(其中a>1)，又有形如关于n的多项式g(n)，则可以根据二项式定理判断当n充分大时该方程不成立，从而控制n的范围，再通过枚举验证方程是否有正整数解，或者求出正整数解．

例3 设{an}是公差为d的等差数列，{bn}为公比为q(其中q≠1)的等比数列，及cn=an+bn．

1)略.

2)若数列{cn}的前4项分别是4,10,19,34．

①求数列{an}和{bn}的通项公式；

②是否存在元素均为正整数的集合A={n1,n2,…,nk}(其中k≥4,k∈N*),使得数列cn1，cn2，…，cnk为等差数列．

(2015年江苏省南通市期末考试试题)

分析 我们主要研究第②小题，易得an=3n-2，bn=3·2n-1，从而cn=3·2n-1+3n-2．问题中问的是数列{cn}中是否存在至少4项依次成等差数列，不妨考虑项数最小的情形，即假定{cn}恰有不同的4项成等差数列，设这4项分别为cp，cq，cr，cs(其中p

(1)

方程右边的最高次幂为r-1(显然r-1≥q)．

当2r-1>2q时，即2r-1≥2q+1，方程(1)的右边为

2r-1+2p-1-2q≥2q+1+2p-1-2q=2q+2p-1≥

(此处q≥3，二项展开式至少有4项)，而方程(1)的左边2q-p-r<2q，故方程(1)不成立.当q=2时直接验证可知也不成立．

通过上面的分析，我们知道2r-1=2q，即q=r-1，同理可得s=r+1．由cr-1，cr，cr+1成等差数列得到2cr=cr-1+cr+1，化简得2r-2=0，矛盾．因此，可以知道不存在元素均为正整数的集合A满足条件．

上述得到矛盾的关键是紧紧抓住方程(1)右边的最高次幂，因为它的增长速度是最“快”的．利用二项式定理把它放缩成比方程左边大的多项式即可得到矛盾．但放缩时要注意项数，当q≥3时至少4项，可以直接导出矛盾，而当q=2时单独检验即可．

总之，二项式定理在处理指数函数比多项式函数增长得“快”为命题背景的问题中往往能起到化繁为简的效果．在使用二项式定理的放缩功能的过程中要注意2点：1)指数的大小要适当，例如展开式需要保留多少项，需要删除多少项，这些都要跟指数相关，指数至少要比展开式的所有项的项数多1(二项式定理本身也说明这一点)；2)明确放缩的方向，也就是明确保留的项(多项式)的最高次是什么，例如3个例题中保留的项的最高次数分别为2次、3次、1次．若能利用二项式定理处理这类问题，并结合刚才给出的注意点，仔细分析，往往能事半功倍！

数学教育的基本功能之一是培养学生的数学求简意识，数学也正因为有着简单的一面才熠熠生辉，令人折服！