用数学的眼光看问题

宋青

近日读张景中院士《数学家的眼光》一书，颇有收获。张院士这本书从一些中学生熟悉的问题入手，用通俗生动的语言和简明易懂的方法，清楚地介绍了数学家是如何从简单的问题出发，发现问题，思考问题，进而解决问题，并最终提出许多简洁又深刻的结论。此书让笔者清楚地感受到数学家看问题的思路和方法，进一步体会到数学的深刻性和透彻性，一些问题看似简单，平时学习往往缺乏深究，但如果能去寻根究底地问一问，也许会有新的收获，在读“定位的奥妙”这一部分的时候，对此感触深刻。

“定位的奥妙”这部分主要围绕“两数相乘，积的位数是什么样子？”问题展开，首先从我们熟悉的带小数点的数的乘法来引入问题，例如，3.7×4.3=？这种笔算有特定的定位方法，同时像珠算，用对数表计算、用计算尺计算等都有不同的定位方法，而数学家看问题，总会想找一般规律，于是文章便进行了一系列的为了弄清定位问题的尝试和探究，该问题看似很小但在真正深入挖掘的过程中，却反映了学习和研究数学的一般方法，主要包含以下几个过程：

1.提出问题：为发现定位的一般规律，首先明确提出了“两数相乘，积的位数是什么子？”这一问题。

2.试验特例：找规律，先从简单例子开始。观察两个式子3×4=12，3×2=6前一个式子里，右端的最高数位1比3小，比4也小，结果是2位，后一个式子，6比3比2都大，结果是1位，这便启发我们得出以下猜想。

3.形成猜想：如果积是1位数，积的数字比乘数大；如果积是2位数，积的最高位上的数字比乘数小。

4.约定表达方式：为了用准确的语言把规律表达清楚，并且严谨地加以证明，约定了“位数”和“数字大小比较法”的表达方式。

5.建立概念：通过约定表达式便可以清晰严谨地建立概念。

乘法定位一般规则：若A×B=C，当C的数字比A（或B）的数字小时，C的位数是A、B的位数之和。否则，C的位数是A、B的位数之和减1。

除法定位一般规则：若被除数的数字比除数小；则商的位数=被除数的位数-除数的位数；否则，商的位数=被除数的位数 -除数的位数+1。

6.证明结论：

对乘法定位的一般规则这一结论进行详细的证明，有了乘法定位法，自然

可以建立除法定位规则，因为除法是乘法的逆运算，只要把乘式中的积叫做被除数，商和除数都叫做相乘数就可以了。可以将以上规则概括为：“乘积大，和减1；除数小，差加1”（通过后面的更一般问题的拓展，笔者发现，为了使这句概括更准确，还需要包含“等于”的情况。即改为“乘积大或等，和减1；除数小或等，差加1”。）

7.进一步提出更一般的问题：

进一步讨论，如果解比例式=，知道了A、B、C和x的有效数字，又知道A、B、C的位数，怎样确定位数呢？文章对不同情况进行了分类并给出证明。

定位是个小问题，但若不仔细去想，不寻根究底去问，很难弄清楚，也就发现不了其中深刻的数学规律。同样在学习中也要善于发现好的数学问题，做到“好读书，求甚解”。

那究竟什么是好的数学问题呢？在本书“珍珠与种子”这一部分也有涉及。不同人对“何为好的数学问题”的回答不尽相同，对此，数学大师陈省身有独到的见解，他说：“让青年人知道有‘好数学和‘不好的数学之分。”这里所说的“好”，简而言之，就是意义深远，可以不断深入、影响许多学科的课题；“不好”则是仅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的题目。我的愿望是让年轻人尽早懂得欣赏“好的数学”。这让自己对何为好的数学问题有了更多的认识和思考，在以后解决实际问题的时候能有所取舍。

对于数学问题的思考有一个开阔的思路和全方位的角度，是非常重要的，书中“三角形的内角和”这一部分陈省身教授对“三角形的内角和等于180°”的精辟理解，陈教授说“三角形的内角和等于180°”是不对的，说它不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该说“三角形的内角和是360°”！把眼光只盯住内角，就只能看到，n边形内角和是：（n-2）×180°，如果看外角呢？任意边形外角和都是360°。

这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了，用一個与无关的常数代替了与有关的公式，找到了更一般的规律。陈教授的话启发读者思考全方位看问题的重要性，突破惯性的思维方式，寻找更为全面和普遍的规律，这本身也是一种数学能力。

细细研读，这的确是一本优秀的数学科普类读物，它比一般的数学书籍多了许多生动和对生活的贴近，同时又不失问题的代表性和数学的严谨性，愿与更多热爱数学的人分享。

编辑 谢尾合