张挺雄
圆的切线是九年级数学中的一个重要内容,是在中考中常考的一个知识点。而相当一部分学生在证明一条直线是圆的切线时,有的无从下手,有的证明过程不完整。下面就圆的切线证明归纳总结如下:
一、掌握切线的判定方法,理解切线的概念与特征
1.根据定义,即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
3.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
理解上面的概念,必须抓住两点:①直线经过半径的外端;②直线垂直于这条半径。这两个条件缺一不可。
二、如何证明一条直线是圆的切线,一般会出现以下几种情况
1.要证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“见半径,证垂直”。
例1:如图1,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°,求证:AE是⊙O的切线。
证明:∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵∠B=60°,∴∠BAC=30°
∴∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°
∵BA⊥AE垂足为A
∴AE是⊙O的切线
2.给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则要连接公共点和圆心,然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”这个定理进行证明,口诀是“连半径,证垂直”。
例2:如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连OC,弦AD//OC,求证CD是⊙O的切线。
证明:连OD
∵OC//AD,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COB=∠DOC
又∵OB=OD,OC=OC
∴△OBC≌△ODC,
∴∠OBC=∠ODC
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°
∵∠ODC=90°,∴DC是⊙O的切线。
3.当直线与圆的公共点不明确时,过圆心作该直线的垂线,然后根据“直线与圆相切的定义”去证明,口诀是“作垂直,证相等”。
例3:如图3,已知OC平分∠AOB,点D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E,求证:OB与⊙D相切。
证明:连DE,作DF⊥OB,垂足为F。
∵⊙D与OA相切于点E
∴DE是⊙D的半径,且DE⊥OA
∵OC平分∠AOB,DO在OC上,且DF⊥OB,DE⊥OA
∴DF=DE
∵DF是⊙D的半径
∴OB与⊙D相切
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