利用数轴求闭区间上二次函数最值问题

耿幸

在我校举行的一次教育教学研讨交流活动中，我听了两位数学老师的公开课，课题为“闭区间上的二次函数的最值问题”。

例1.函数f（x）=x2-2ax+2，x∈[1，3]，a∈R记f（x）最大值为g（a），求g（a）的表达式。

老师甲解法：开口向上的二次函数最大值只能在所给出的区间端点上，对称轴只需与区间中点比较即可。因此，当a≤2时，f（x）max=f（3）=11-6a；当a>2时，f（x）max=f（1）=3-2a.

∴g（a）=

甲老师的解法虽然简洁明了，但是需要学生有较高的数学思维概括能力，从学生完成练习的情况来看也不是非常理想。

如何能让学生更容易掌握相应的内容呢？

我们知道，|x-a|表示数轴上实数x和常数a所对应的两个点之间的距离，根据这一几何意义，我们只需借助数轴观察动点的变化范围，就能解决有关二次函数在闭区间上的最值问题。这种方法直观性强，容易理解，易于掌握。解题如下：

解法2：配方得：f（x）=|x-a|2-a2+2，所以f（x）最大值取决于区间[1，3]上的动点x与a的距离的最大值。

让点a在数轴上移动，如图所示，

在区间[1，3]上到点a距离最大的点必然是区间的端点1或者3，而区间中点2到两个端点的距离恰好相等，因此，当a≤2时，右端点3到点a的距离最大，所以当x=3时|x-a|的距离最大，因此f（x）max=f（3）=11-6a。

当a>2时，左端点1到点a的距离最大，所以x=1时|x-a|的距离最大f（x）max=f（1）=3-2a

∴g（a）=

上述方法处理更复杂的问题时，思路更加清晰，解题更加流畅。

例2.对任意实数t，求函数f（x）=-cos2x-tcosx-t2的最小值

解：因为f（x）=-|cosx-|2-t2，cosx∈[-1，1]

所以f（x）的最小值取决于区间[-1，1]上的动点cosx与的距离的最大值。

如图，点在数轴上移动时，在区间[-1，1]上到的距离最大的点必然是区间端点-1或1，且区间中点为0，因此当≤0，即t≤0时，右端点1到点的距离最大，所以，当cosx=1時，|cosx-|的距离最大，因此f（x）min=-t2+t-1

当>0即t>0时，左端点-1到点的距离最大，所以当cosx=-1时|cosx-|的距离最大，因此f（x）min=-t2-t-1

所以，函数f（x）min=-t2-|t|-1

以上给出的几种求导法各有利弊，需灵活运用，也可结合使用。

参考文献：

刘瑞美，孙玉.求二次函数最值得几种形式.中学数学教学参考，2009（23）.

编辑 段丽君