含线性阻尼2D g－Navier－Stokes方程的全局吸引子维数估计

姜金平，王小霞

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

含线性阻尼2D g－Navier－Stokes方程的全局吸引子维数估计

姜金平，王小霞

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

利用经典的全局吸引子维数估计方法，研究了一类含线性阻尼的非线性自治g－Navier－Stokes系统在无界区域上的全局吸引子的维数估计问题。

g－Navier－Stokes方程;全局吸引子;线性阻尼;维数估计

在流体力学和动力系统中，通常会研究该系统全局吸引子的存在性问题［1－8］，在本文中，我们研究无界区域Ω⊂R2上含线性阻尼的g－Navier－Stokes方程的全局吸引子的维数估计问题，含线性阻尼的二维g－Navier－Stokes方程的一般形式如下(见文［1，3］):

在Ω×(0，∞)上。

u(x，t)=0，在∂Ω上。

u(x，0)=u0(x)，在Ω上。

这里u(x，t)∈R2，p(x，t)∈R分别表示速度和压力，ν＞0且f=f(x)∈(L2(Ω))2，0＜m0＜g=g(x1，x2)≤M0。这儿g=g(x1，x2)是实值光滑函数。

u和p未知。当g=1时，方程(1)就是通常的二维Naνier－Stokes方程。

1 预备知识

对常数m0和M0，我们假设Poincare不等式在Ω上成立:即存在λ1＞0使得

设L2(g)=(L2(Ω))2，且其内积分别为:

(u，v)=∫Ωu·vg d x，u，v∈L2(g)和((u，v))=这里u=(u1，u2)，v=(v1，v2)∈。分别定义它们的范数为|·|=(·，·)1/2和‖·‖=((·，·))1/2。

于是由(2)可以知道，范数‖·‖等价于H10(Ω)空间的范数，设D(Ω)是Ω上由具有紧支集的C∞函数构成，设D={v∈D(Ω))2:▽·gv=0在Ω}，H为D在L2(g)上的闭包，V为D在H10(g)中的闭包。这里H和V分别具有空间L2(g)和H10(g)上的内积和范数。

由(2)可知:

定义g－Laplacian算子如下:

于是可以将(1)改写如下:

定义g－正交投影为:P:L2(g)→H，同时定义g－Stokes算子为:

(4)式在投影P的作用下，可以得到(1)的弱形式如下:

若f∈V和u0∈H，则

使得

映射bg:Vv×Vg×Vg→R定义为:

这里A:V→V'是g－Stokes算子，其定义为

B(u)=B(u，u)=P(u，▽)u 是双线性算子，其定义为B:V×V→V'

g－Stokes算子A是从空间V到V'的同构，这里B、R满足下面不等式(见文［2－4］):

命题1［1，3］设f∈L2(g)，u0(x)∈H，存在一个唯一的u(x，t)∈L∞(R+;H)∩L2(0.T;V)∩C(R+; H)(∀T＞0)，使得(6)，(7)成立。

证明:设u=u(t)，t＞0是由命题1给定的解。由于u∈L2(0.T;V)及u'∈L2(0.T;V')，则

则bg(u，u，u)=0，∀u，v∈V，于是

从而利用(3)可得

这里m1=|－2α|，因此

对充分小的|▽g|∞，

因此可得:

(一)随着中国经济的不断发展壮大，中国经济对于世界经济的渗透也在不断加深，中国经济已经在国际财经合作中扮演着重要角色。中国与很多国家都建立了各种形式的财经合作体系。2017年的G20峰会是中国第一次作为经济大国参与国际性的重大经济决策，中国对于全球经济恢复起到了推动作用。

由命题1，可以在H上定义连续半群{S(t)}为S(t)u0=u(t)，t＞0，这里u(t)是(6)的解且u(0)= u0∈H，此外，由(14)有

B在H中对于半群是吸收的。利用文［8］中类似方法可得下面定理成立。

2 全局吸引子的维数估计

给出含线性阻尼的2D g－Navier－Stokes方程在无界区域上的全局吸引子的维数估计。

设u0∈A且u(t)=S(t)u0，对t≥0，由(9)可得线性流u可由下列方程给出

∀Ψ∈H，存在唯一的U∈L2(0．T;V)∩C(［0，T］;H)(∀T＞0)满足(16)∀T＞0。

定义线性映射L(t;u0):H→H为L(t;u0)ξ= U(t)，可以证明L(t;u0)是有界的且{S(t)}t≥0在A上一致可微，即

这里Qm(τ)=Qm(τ:u0，Ψ1，…，Ψm)是H上的正交投影，L(t;u0)Ψ1，…，L(t;u0)Ψm，∀Ψ1，…，Ψm在H中线性无关。

引理1［7］设A是(1)的全局吸引子，若对n∈N，有qn＜0。那么A分别具有有限的Hausdorff和fracta l维数估计如下

为了估计qm，设u0∈A且u(t)=S(t)u0，Uj(t) =L(t;u0)Ψj，t≥0，设φi(t)(i=1…m)是H中的正交基。由于

由Lieb－Thirring不等式

于是

定理3 考虑含线性阻尼的二维g－Navierstokes方程，当时，定义m满足m－这里c是定义在R2上的常数。则其全局吸引子具有有限的Hausdorff维数小于等于m和有限的分形维数小于等于2 m。

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［责任编辑 毕 伟］

Dimension Estimation of G lobal Attractor for g－Navier－Stokes Equation w ith Linear Dampness

JIANG Jin－ping，WANG Xiao－xia

(College of Mathematics and Computer Sctence，Yan'an University，Yan'an，716000，China)

The dimension estimation of global attractor for g－Navier－Stokes equation with linear dampnesswas investigated by the classicalmethod of dimension estimation.

g－Navier－Stokes equation;global attractors;linear dampness;dimension estimation

O175.29

A

1004－602X(2015)03－0010－04

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.010

2015 -06 -10

陕西省科技计划项目(2014JM2－1005);陕西省教育厅科研项目(15JK1834);延安市科技计划项目(2013－KS03);陕西省2015年大学生创新创业训练项目(1416)

姜金平(1974—)，男，陕西洛川人，延安大学副教授，博士。