Schur定理的推广

王淑娟， 刘舒畅

(黑龙江大学数学科学学院， 黑龙江哈尔滨150080)

早在1905年，Schur[1]给出一般线性Lie代数交换子代数的极大维数的定理，阐述了两两交换矩阵线性无关的极大维数，由此得到有限维交换Lie代数忠实表示的极小维数。Jacobson[2]利用矩阵的相似变换，对Schur定理进行了证明；菲尔兹奖获得者 Mirzakhani[3]利用分块矩阵及数学归纳的思想，也对Schur定理进行了证明。文献[4-7]中利用Jacobson的思想，得到了有限维交换Jordan代数与交换Lie超代数忠实表示的极小维数。 本文中借鉴Mirzakhani的思想， 利用分块矩阵理论以及数学归纳法， 确定上三角矩阵空间的弱交换空间的极大维数，对Schur定理进行推广。

1 有关概念

约定基域 F为特征的代数闭域。记M(n, F)为n×n型矩阵全体，其中n为自然数，t(n, F)为n×n型上三角矩阵全体。称矩阵A,B∈t(n, F)是弱交换的，如果存在与A、B有关的λ∈F, 使得AB=λBA。设V为t(n, F)的一个子空间，若V中任意2个矩阵都是弱交换的, 则V称是一个弱交换空间。

下面给出Lie代数与Jordan代数的定义。

定义1[4]设L为域 F上的一个代数, 其乘法用[,]表示。若对L于中的任意元素a、b、c都有

[a,b]=-[b,a],[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]，

则称为Lie代数。

设M(n, F)中任意2个元素为X、Y，定义

[X，Y]=XY-YX,

则M(n, F)关于新定义的乘法[,]构成一个Lie代数，记为gl (n),称为一般线性Lie代数。

定义2[4]设J为域 F上的一个代数。若对J于中任意元素x、y都有

xy=yx,(x2y)x=x2(yx) ,

则称J为Jordan代数。

对于M(n, F)中任意2个元素X、Y定义

X∘Y=XY+YX，

则M(n, F)关于新定义的乘法∘ 构成一个Jordan代数，记为J(n)，称为特殊Jordan代数。

下面给出Lie代数与Jordan代数的表示的定义。

定义3[8]设L为 F上的Lie代数。若线性映射

φ∶L→gl (n)

为一个Lie代数同态, 即

φ([a,b])=φ(a)φ(b)-φ(b)φ(a) ,

其中a、b为L中任意2个元素，则称φ为Lie代数L的表示，称n为表示的维数。进一步, 若φ是单同态的，则称其为L的忠实表示。

定义4[9]设J为F上的Jordan代数。若线性映射

φ∶J→J(n)

为一个Jordan代数同态, 即

φ(xy)=φ(x)φ(y)+φ(y)φ(x) ,

其中x、y为J中任意2个元素, 则称φ为Jordan代数J的表示, 称n为表示的维数。进一步，若φ是单同态的，则称其为J的忠实表示。

2 主要结果

定理1若V为t(n, F)中具有极大维数的弱交换空间, 则dimV=⎣n2/4」+1，其中⎣·」为向下取整函数, dim为空间的维数函数。

证明： 设

F=Span{Eij|1≤i≤⎣n/2」,⎣n/2」+1≤j≤n} ,

其中Eij为第i行第j列位置元素为1且其余位置元素全为0的n×n型矩阵，Span表示张成子空间。显然， F ′=F ⨁FI是一个弱交换空间且维数为⎣n2/4」+1, 其中I为单位矩阵, ⨁为空间的直和运算符。由此，

dimV≥⎣n2/4」+1 。

下面利用数学归纳法证明dimV≤⎣n2/4」+1。当n=1时，结论显然成立。假设结论对于n-1的情形成立，下面考虑n的情形。利用反证法, 假设

dimV>⎣n2/4」+1,

则t(n, F)包含了一个维数为σ(n)=⎣n2/4」+2的弱交换空间H。设H的一组基为

{A1,A2, …,Aσ(n)} ，

则存在(n-1)×(n-1)型矩阵Mi, 使得

其中*为矩阵Ai第1行的元素。因为

H=Span{A1,A2, …,Aσ(n)}

是t(n, F)的一个弱交换空间, 所以

W=Span{M1,M2,…,Mσ(n)}

也是t(n-1, F)的一个弱交换空间。记k=dimW，根据归纳假设可知，

k≤⎣(n-1)2/4」+1 。

不失一般性地, 设M1,M2,…,Mk线性无关,因此

其中mi1,mi2,…,mik∈F,i=k+1,k+2,…,σ(n)。记

则每个Bi具有形状Bi=[Ti,O]T,其中

同理, 记

是t(n-1, F)的一个弱交换空间。设r=dimW′，根据归纳假设可知

r≤⎣(n-1)2/4」+1 。

进而可知

其中i=k+1,k+2，…,σ(n)；j=r+1,r+2,…,σ(n)。

设

A=(Tk+1,Tk+2，…,Tσ(n))T，

显然rankA=σ(n)-k, 其中rank表示求矩阵的秩。设

P={X∈Fn|AX=O} ,

则有dimP=n-rankA。注意到Sr+1,Sr+2,…,Sσ(n)∈P，dimP≥σ(n)-r，因此

n=rankA+dimP≥

(⎣n2/4」+2-k)+(⎣n2/4」+2-r)≥

2(⎣n2/4」-⎣(n-1)2/4」+1) 。

由此，若n=2q,则2q≥2(q+1)，矛盾；若n=2q+1,则2q+1≥2(q+1)，矛盾。假设不成立，定理1证毕。

定理1涵盖了文献[1-4, 7]中的结果, 极大地简化了文献[7]中的相关证明, 推广了Schur的关于两两交换矩阵线性无关极大个数的相关定理[2-4]。

需要注意的是，由F ′的结构可知，t(n, F)的一个具有极大维数的弱交换空间的基可取为

{Eij|1≤i≤⎣n/2」,⎣n/2」+1≤j≤n}∪{I} 。

推论1一般线性Lie代数gl(n)与特殊Jordan代数J(n)的交换子代数的极大维数分别为⎣n2/4」+1与⎣n2/4」。

证明： 设M为gl (n)的任意交换子代数。一方面，由于两两交换的矩阵必能同时上三角，因此可以视M为t(n, F)的一个弱交换空间；另一方面，由定理1可知，dimM≤⎣n2/4」+1。注意到定理1证明中F ′的结构，可知gl (n)的交换子代数的极大维数不小于⎣n2/4」+1。

由Jacobson弱闭集定理可知, J(n)的交换子代数可以同时严格上三角，因此J(n)的任意交换子代数可视为n(n,F)的弱交换空间，其中n(n,F)为全体n×n型严格上三角矩阵。设M′为J(n)的具有极大维数的交换子代数，则有

dimM′<⎣n2/4」+1；

否则，M′⨁FI是维数大于⎣n2/4」+1的弱交换空间，这与定理1矛盾。注意到在定理1的证明中，F的结构表明dimM′≥⎣n2/4」。推论1证毕。

证明： 设φ∶L→gl (n)为Lie代数L的忠实表示，由推论1可知，

设ρ∶J→J(n)是Jordan代数J的忠实表示，由推论1可知，

推论2证毕。

推论2给出了任意有限维交换Lie代数与交换Jordan代数的忠实表示的极小维数[3]。

3 结论

本文中利用分块矩阵理论及数学归纳法，得到了上三角矩阵空间的极大维数，以及一般线性Lie代数与特殊Jordan代数交换子代数的极大维数，并且给出任意有限维交换Lie代数以及交换Jordan代数忠实表示的极小维数，简化了文献[7]中相关定理的证明。