平面向量在解题中的应用

王为权

摘 要：在新一代的课改中，向量作为现代数学标志之一，已经进入了高中数学教材中。向量是沟通几何与代数的重要工具，促进了几何的代数化。有些几何问题用常规的几何证明方法去解决往往会比较复杂，那么运用向量把“几何问题”转化为“代数运算”，会使解题过程大大的简化，同时也更容易理解，体现了数学中常提到的“数形结合”的思想。

关键词：向量；解析几何；复数；数形结合；解题

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-114-02

平面向量是数学中的一个重要概念，平面向量作为一种重要的解题工具，一直是高考的热点和重点内容，向量的基础性和工具性一直备受关注.本文通过一些例子来谈谈平面向量在解题中的应用.向量在几何中有着十分广泛的应用。在具体问题当中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量运算，特别是向量数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题，特别是在有些情况下，应用向量还能起到事半功倍的效果。

一、向量在平面几何中的应用

1、利用向量求直线夹角

例1：已知直线 ，求 和 夹角的余弦值。

2、利用向量研究直线的垂直与平行

3、利用向量求解曲线方程

當然向量在几何问题当中还有好多方面的应用，在这里仅举几个简单的例子以说明向量的应用问题，巧用向量，就能很容易地解决相关问题。

二、向量在解析几何中的应用

在直角坐标系里研究椭圆，双曲线，抛物线的性质是平面解析几何的主要内容，由于向量与坐标有着天然的联系，因此，坐标结合向量研究曲线的性质更为方便。

例3：（2000年全国高考题）椭圆 的焦点为F F ，点P为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

解：F1（- ，0）F2（ ，0），设P（3cos ，2sin ）

为钝角

∴

=9cos2 -5+4sin2 =5 cos2 -1<0

解得： ∴点P横坐标的取值范围是（ ）

点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

三、向量在复数中的应用

在复平面上，点，向量与复数建立了一一对应的关系。可见复数与向量有着密切的联系，将向量与复数结合起来，可方便地解决某些涉及到旋转的图形问题。

例5 平面上有两个正三角形ABC，A1B1C1（顶点按顺时针方向排列，如图7-32），边BC与B1C1有共同的中点O，求证AA1⊥BB1，且AA1BB1=3 （第六届俄罗斯奥赛题）。

证：→OB=a、→OB1=b，则

→OA=i3 a， →OA1=i3 b

→AA1= i3 （b-a）， →BB1=b-a

∴→AA1= i3 →BB1，→AA1由→BB1旋转π2并放大3 倍得到，所以→AA1⊥→BB1，且|→AA1|=3 |→BB1|

必须注意，当用复数表示向量时，两向量垂直当且仅当它们的复数表达式相差一个? 或-?的因子。因为复数没有内积运算，所以不能用→AA1·→BB1=0来证→AA1⊥→BB1

四、向量在解决三角问题中的应用

参考文献：

[1] 刘八芝：向量在中学数学教学中的应用[J]，镇江高专学报2003年第2期。

[2] 吴雪梅.构造法在中学数学解题中的运用[J]，2008版

[3] 滕文秀.构造法证明不等式例谈[J].中学数学，2008，版

[4] 袁拥军.中学生数学.2007年3月上.第317期（高中）

[5] 张 卓·浅议向量运算在立体几何中的应用[J].中学数学研究，2006