图解《概率论与数理统计》之教学案例

罗滨霖 王传美 农荫隆 黄腾

[摘 要]图解法教学方法可以将抽象的问题形象化、宽泛的问题具体化、复杂的问题简单化，以便于学生学习、理解和掌握。《概率论与数理统计》作为一门集实用性和趣味性于一体的大学数学类课程，其中很多知识点可以应用图解教学法。归纳《概率论与数理统计》教学中应用的图解法，对各类图解法具体总结应用案例，以此抛砖引玉，将图解法在大学数学教学中的应用向前推进一步。

[关键词]图解法 概率论与数理统计 教学 案例

[中图分类号] G642.4[文献标识码] A[文章编号] 2095-3437（2015）01-0087-02

用图形表示知识点能将抽象的问题形象化、宽泛的问题具体化、复杂的问题简单化，使得学生易于理解和接受。[1]《概率论与数理统计》是大学期间学生所学课程中应用最广泛、实用性最强的一门数学课[2] [3] [4] [5]，它是很多理工科的公共必修课，也是数学、信息计算、统计等专业的专业必修课。因为该课程侧重理论学习，其中的很多原理或知识点若能通过图形来表示，将增加该课程的趣味性、生动性[3] [4] [5]。教学中可以应用的图解法大致包括：维恩示意图、直译示意图、欧拉逻辑图、提纲图等等。基于多年的教学经验，现将各种图解方法在《概率論与数理统计》的应用，一一展现如下。

一、提纲图一目了然

开篇介绍概率与数理统计的研究内容和研究发展，用提纲形式展示比较形象。

图1   课程结构与发展

图2   随机变量类型

二、维恩图示意清晰

第一章讲随机事件及概率，其中事件的关系与运算用维恩图表示比较形象具体，易于学生理解。

图3表示两事件的和，事件A∪B={ω│ωA或ωB}={A，B至少有一个发生}。图4为两事件包含关系的维恩图。其他的还有事件的积、差运算，以及事件互逆、互不相容等等的维恩图表示，不再一一列举。

图3   两事件的和            图4   两事件的包含关系

最典型的维恩图是全概率公式的表示图。设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），且Ai=Ω，则对于任意事件B，有P（B）=P（Ai）P（B│Ai）。其关系见图5。

图5   全概率公式图解

三、直接示意更加具体

设X是一个随机变量，对于任意实数x，令F（x）=P（Z≤x）（-∞

图6   一个随机变量的分布函数示意图

图7   二维随机变量的分布函数示意图

设（X，Y）是一二维随机变量，对于任意实数x，y，令F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}，称F（x，y）为随机变量（X，Y）的联合分布函数。由上图7可清楚的理解，二维分布函数是表示向XOY面投点，所投点落在（x，y）点左下方的概率。

图8   置信区间示意图

图8为正态或t分布等对称分布，求参数置信区间的示意图，可以帮助学生理解置信区间的含义及做法。也适用于对称分布的参数双侧假设检验的示意，落在两边小区域即拒绝域。

四、坐标轴图解法容易解题

图9   离散型随机变量分布函数

上图9为某离散型随机变量X的分布函数，由分布函数的含义，可知此分段函数的跳跃度为随机变量取间断点的概率。由P{x≥1}=0.5，P{x<1}=0.3，可知P{x=1}=0.5-0.3=0.2。

图10   连续型随机变量密度函数

上图10为某连续型随机变量X的密度函数曲线图，由密度函数的定义及性质可知，随机变量X落入区间（x1，x2）的概率为

图11   正态分布密度函数图像

图11做了正态分布不同参数的密度函数曲线，可见σ越大图形越平缓，呈现尖峰厚尾的特征，而x=μ即图形对称轴，决定了图形的位置。

五、欧拉逻辑图解法清楚明了

图12   独立与不相关的关系图

由图12可直接看出，独立是不相关中的一种更特殊的关系。这是因为不相关是指没有线性关系，没有线性关系可以有其他关系，而独立是指全方位的没有任何关系。

六、结语

概率论与数理统计是一门非常贴近生活又非常有意思的一门课，在教学中充分利用图解法进行讲解，可以使这门课更生动、形象、具体，更具启发性。[5]同时，这里介绍的图解法也可以拓展应用于其他课程的教学中，这需要教师们进一步地研究和探索。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李卫国.高职数学教学中的线性规划图解法运用[J].重庆科技学院学报（社会科学版）2010（5）：188-120.

[2] 黄海平.基于教师专业标准的高师数学课程设计研究与实践——以数学教育特色专业主干课程_概率统计为例[J].大学教育，2013（6）：87-89.

[3] 杨火根.教学研究型工科院校概率统计课程建设的一些思考[J].大学教育，2012（11）：72-74.

[4] 沈晓婧，周介南.概率论与数理统计课程改革的创新机制[J].高等数学研究，2011 （1）：114-117.

[5] 贺素香.在概率论与数理统计教学中激发学生兴趣的若干方法[J].大学教育，2013（3）：58-59.

[责任编辑：林志恒]