用平均个数法解决Goldbach

侯小山

【摘要】用平均个数法证明了每一个不小于6的偶数都肯定是二个奇素数之和.平均个数法是在1+1奇数三角中，推导出其第n行元素中（1+1）的平均个数为 r2（2n）=π（2n）×π（2n）2n，用素数定理证明平均个数1

【关键词】平均个数法;Goldbach;1+1奇数三角;（1+1）

一、引 言

1742年，哥德巴赫（C.Goldbach）提出了一个关于偶数的著名问题：

每一个不小于6的偶数都是二个奇素数之和？

272年过去了，这个问题仍然没有解决;国际主流数学界一直都是在用解析数论，解决其弱命题：a+b，1+c;采用过筛法、圆法、密率、概率;目前世界公认的最好成绩是我国数学家陈景润证明的（1，2）.

本文认为：可以用简单而初等的平均个数法解决Goldbach.

因为偶数2n越大，2n表为（奇数+奇数）越多，而奇素数就属于奇数，

所以对于全体偶数而言：偶数2n越大，2n表为（奇素数+奇素数）的个数r2（2n）也越多.事实也确实如此，例如：r2（6）

0006=3+31

0066=0061+5=0059+7=0053+13=…12

0666=0661+5=0659+7=0653+13=…62

6666=6661+5=6659+7=6653+13=…330

虽有反例r2（6n）>r2（6n+2），但不影响大势.

因此解决Goldbach，只需证明：当2n→∞时，r2（2n）→∞.

本文的目的是要彻底解决Goldbach.

本文解题的方法叫作平均个数法.这个方法就是在1+1奇数三角中，只证明当偶数2n趋于无穷时，2n表为（奇素数+奇素数）的平均个数也趋于无穷;因为其平均个数小于实际个数，r2（2n）

二、用平均个数法解决Goldbach

引理2.1（素数定理）

π（x）～xlnx.

定义2.1 如果将全体（奇数+奇数）排成三角形，如图 1，则称其为：1+1奇数三角;如果其中的（奇数+奇数）=（奇素数+奇素数），则简称为：（1+1）.如3+3，31+13，3+103等都是（1+1），而1+1，3+1，9+5，15+21等都不是（1+1）.

1+1

3+1  1+3

5+1  3+3  1+5

7+1  5+3  3+5  1+7

…  …   …  …  …

图1  1+1奇数三角

定理 每一个不小于6的偶数都肯定是二个奇素数之和.

证明 因为素数集∏={2，3，5，7，11，…}不规则，没有第n个素数pn的通用公式，所以不能计算出每一个大偶数2n表为（1+1）的实际个数r2（2n），也不能证明定理.

因为Goldbach没有要求，也没必要求出2n表为（1+1）的实际个数r2（2n），

所以只需证明r2（2n）≥1（2

下面就来证明r2（2n）≥1（2

因为1+1奇数三角的第n行元素，恰是偶数2n表为的全体（奇数+奇数）;

因为1+1奇数三角的第n行元素共有r2（2n）个（1+1）.

所以1+1奇数三角的第3行到第n行就共有∑ni=3r2（2i）个（1+1）.

因为不大于2n的素数有π（2n）个，它们可以组成〈π（2n）-1〉×〈π（2n）-1〉个（1+1），例如二个奇素数3与7可以组成2×2个（1+1）：3+3，7+3，3+7，7+7;

因为在〈π（2n）-1〉2个（1+1）中约有一半的（1+1）都大于2n，例如〈π（10）-1〉2=9个（1+1）中，7+5，5+7，7+7都大于10，约占9个（1+1）的一半，其实是少于一半，

所以1+1奇数三角第3行到第n行中（1+1）的总个数至少为∑ni=3r2（2i）=〈π（2n）-1〉22.

因为1+1奇数三角的第3行到第n行，共有n-2行元素，

所以1+1奇数三角的第n行中（1+1）的平均个数为r2（2n）=〈π（2n）-1〉22（n-2）.

因为当n→∞时，偶素数2，以及行数1与2都可以忽略不计，且误差极小，

所以1+1奇数三角的第n行中（1+1）的平均个数可简写为r2（2n）=π（2n）×π（2n）2n.

因为当n→∞时，将素数定理π（2n）～2nln2n代入r2（2n）并求极限，得：

limr2（2n）=lim2nln2n×2nln2n2n=lim2nln2n×ln2n=∞，

所以当n→∞时，1+1奇数三角的第n行中（1+1）的平均个数也是趋于无穷的.

因为在1+1奇数三角的第3行到第n行中，第n行的元素最多，（1+1）也应较多，

所以在1+1奇数三角的第n行中（1+1）的平均个数小于实际个数：

r2（2n）

所以当平均个数r2（2n）→∞时，必有实际个数1

因此每一个不小于6的偶数都肯定是二个奇素数之和.

证毕.

三、结 论

用平均个数法可以证明每一个不小于6的偶数都肯定是二个奇素数之和！