基于Matlab矩阵运算的多元回归函数编程

摘 要：多元线性回归是计量分析中最常用的方法之一，在经济学、金融学和管理学中运用广泛。线性回归方法依赖于矩阵和向量的运算，因此以矩阵运算为内核的Matlab是理想的编程平台。本文以开发多元线性回归函数作为例子，着重分析Matlab自定义函数的设计理念，同时突出varargin、nargin等特殊函数的代码编写。通过交叉运用线性代数、概率统计等数学工具，本文为计量研究人员提供了新的编程视角。

关键词：矩阵运算；Matlab；多元线性回归；函数编程

中图分类号：TP311.1 文献标识码：A

1 引言（Introduction）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square，以下简称OLS）是最重要的多元线性回归法，该方法被广泛地应用于各种定量分析领域[1]。目前，许多主流计量分析软件都支持OLS回归法，比如SAS、R、Eviews等。Matlab也能够实现多元线性回归，其自带的Statistics Toolbox和Econometrics Toolbox提供了比较丰富的计量分析功能。既然有现成的回归分析软件，为什么还要自己编写原始代码？原因有以下两点。第一，计量经济学的发展是日新月异的，上述主流回归分析软件的更新无法跟上计量经济学的前进步伐。通过对原始代码的详细分解，能够让广大研究人员掌握回归分析的核心编程思路。第二，计量经济学的难点在于线性代数和概率统计，在实践中学习是掌握各种计量工具的关键。通过编程，有利于更好地吸收回归分析知识。

多元线性回归的代码设计包括数据储存、矩阵运算、结果输出等环节。本文先从Matlab自定义函数编程出发，利用varargin、nargin等特殊函数处理变量数据。之后利用Matlab强大的矩阵运算功能得到回归分析统计量，并将回归结果以表格形式输出。目前，国内有少量的文献涉及Matlab计量编程，这些研究存在一些可改进之处。首先，回归方程的变量数目应该由用户自定义。在计量经济学的实际应用中，控制变量的筛选是不确定的。借助Matlab内置的varargin、nargin等函数，本文的程序能够有效地处理多个解释变量，即可以实现变量数目的自定义。其次，回归结果应该给出完整的统计量，不应该仅仅提供系数大小。本文的Matlab程序给出了回归系数、标准误、P值等统计量，符合计量分析的学术标准。再次，回归结果可以用表格形式输出。Matlab的内置table函数提供了丰富的输出选项，在多元回归的情况下可以用table函数批量地输出各种统计量。

2 线性回归法的理论回顾（Review of linear regression）

用表示被解释变量，表示自变量，表示干扰项，那么总体线性方程可以表示为[2]：

用表示被解释变量的向量形式，表示自变量的矩阵形式，表示样本容量，我们可以得到回归系数：

在同方差条件下，显著性检验所需的标准误可以由下式计算得到[3]：

3 常用的内置函数（Essential built-in functions）

为了构建完整的多元计量分析程序，我们将代码分为多个模块。一个完整的计量分析程序可以被分为三个模块，数理统计模块、矩阵运算模块和结果输出模块。数理统计模块是回归参数检验的重要部分，我们需要借助Matlab内置的数学函数来计算各种统计量。矩阵运算是Matlab的强项[3]，在求回归参数时需要用到diag函数。输出模块也非常关键，内置的table函数能够使回归结果以简洁的表格形式输出。在正式编写回归分析程序之前，我们先回顾一下将要涉及的Matlab内置函数。

3.1 用于显著性检验的tcdf函数

在计量分析中t分布具有重要作用，t分布可以用来检验某个解释变量的显著性。为了得到P值，我们需要计算t统计量。假定某个自变量的系数为，那么该变量的t统计量计算公式为，其中表示解释变量的标准误。利用Matlab内置的tcdf函数，我们可以得到任意自由度的t统计量。比如，某个变量的t值为-2.39，自由度为296，那么求相应P值的代码为（这里还用到了求绝对值的abs函数）：

pValue=（1-tcdf（abs（-2.39），296））*2

3.2 矩阵运算与diag函数

多元回归方法涉及大量的矩阵运算，因此我们可以借助Matlab进行与矩阵相关的操作。比如，先用ones内置函数构造一个元素全为1的5×5矩阵，将该矩阵命名为mat1。再将该矩阵与其转置矩阵相乘，将得到的新矩阵命名为mat2。利用Matlab内置的diag函数，我们可以很快地得到矩阵mat2主对角线上的所有元素。上述过程的代码如下：

mat1=ones（5，5）

mat2=mat1*mat1'

diag（mat1）

3.3 用于生成表格的table函数

回顾国内已有的Matlab学术文献，一些学者采用文本对话框的形式输出计量回归结果。但是，在回归统计量数目极多的情况下，文本对话框无法像表格那样简洁地显示层次化信息。Matlab提供了强大的表格输出命令，通过内置的table函数我们可以很轻松地得到专业化的表格效果。假设有两个变量var1和var1，其中var1的取值为21和11，var2的取值为35和51。如果用table函数来实现var1和var2数据的表格形式输出，可以编写以下代码：

table（[21；11]，[35；51]，...

'VariableNames'，{'var1' 'var2'}）

4 Matlab代码设计（Matlab code design）

4.1 自定义函数的开头

将这个Matlab多元线性回归程序命名为mvReg，因此将函数源代码以mvReg.m作为文件名保存。为了使该程序能够灵活处理多元线性回归的自变量数目，我们使用varargin函数记录输入的因变量和自变量。代码如下：

function mvReg（varargin）

4.2 回归系数的估计

由第二部分理论回归可知，回归系数的表达式可以简化为。首先，生成元素全为1的矩阵MatX。其次，用循环语句将矩阵MatX的元素替换为varargin中的数据。求回归系数的代码如下：

NumIV=nargin；

NumCross=length（varargin{1}）；

VecY=varargin{1}；

MatX=ones（NumCross，NumIV）；

for i=2：NumIV

MatX（：，i）=varargin{i}；

end

VecB=inv（MatX'*MatX）*MatX'*VecY；

4.3 显著性检验的统计量

在回归分析当中，比较重要的统计量有t值、标准误和P值等。t值等于回归系数与标准的比值，表达式为。P值根据t分布得到，极小的P值表明不拒绝原假设“”。用VecSE、VecT和VecP分别表示标准误向量、t值向量和P值向量，计算各统计量的代码如下：

ehat=VecY-MatX*VecB；

VecSE=[diag（sum（ehat.^2）/…

（NumCross-NumIV）*inv（MatX'…

*MatX））].^0.5；

VecT=VecB./VecSE；

VecP=（1-tcdf（abs（VecT），…

NumCross-NumIV））*2；

4.4 将回归结果以表格形式输出

Matlab的内置函数table提供了强大的表格显示功能，因此本回归程序利用table函数来实现回归结果的输出。由于回归结果的表格涉及文本内容和数值内容，我们将数据以cell形式储存。代码如下：

VecVN=cell（nargin，1）；

VecVN{1，1}='_cons'；

for i=2：nargin

VecVN{i，1}=inputname（i）；

end

Regression=table（VecVN，VecB，…

VecSE，VecP，'VariableNames'，…

{'Variable'，'Coef'，'Std_Err'，'P'}）

至此代码编写完毕，接下来对多元回归函数进行测试。先导入Excel数据文件，因变量为wage，自变量为educ和exper。多元回归的代码为：

mvReg（wage，educ，exper）

最终的回归结果如图1所示。输出结果的第一列为被估计的回归系数，解释变量educ的系数大小为0.64427，标准误为0.053。通过计算t统计量，我们可以得到其P值为0。所以，解释变量educ是非常统计性显著的。同理，解释变量exper的系数大小为0.070095，标准误为0.010978。该变量P值小数点的后三位都为零，因此变量exper在1%水平上统计性显著。参照主流统计软件的输出格式，我们用“_cons”表示截距。从图1的回归结果来看，截距P值小数点的后三位都为零，因此也是在1%水平上统计性显著。

图1 Matlab程序运行结果

Fig.1 Matlab' s output

在得到多元线性回归的结果之后，我们还可以利用内置函数来实现数据可视化的功能。在单个解释变量的情况下，scatter函数可以得到关于因变量与被解释变量的散点图。借助plot函数，还可以画出线性回归的拟合曲线。借助基本的数理统计知识，用户可以将这些图形功能充分应用到数据分析当中。值得注意的是，Matlab提供了大量的高级统计函数。基于这些内置函数，用户可以非常高效地编写属于自己的新程序。

5 结论（Conclusion）

Matlab作为以矩阵运算为特点的综合性编程平台，其高效快捷的代码命令能够处理众多的计量分析难题。本文借助Matlab线性代数模块、概率分布模块实现了多元线性回归法，并得到了重要的检验统计量。在此基础上，可以进一步增加更高级的计量分析功能，比如异方差稳健回归、多重共线性检验等。

参考文献（References）

[1] Eric Noreen.An Empirical Comparison of Probit and OLS

Regression Hypothesis Tests. Journal Of Accounting Research，

1988，26（1）：119-133.

[2] Sanford Weisberg. Applied Linear Regression [M].John Wiley

& Sons，2013.

[3] David Thomas.Give Meaning to Matrices with MATLAB[J].

Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching，

1990，9（3）：73-85.

作者简介：

邬汝威（1988-），男，硕士生.研究领域：算法设计，面板数据

分析.