对二元二次式子的认识

郑莹莹 侯禹

高中阶段我们认识的二元二次型主要是圆锥曲线，但是大纲并不要求有xy的交错项. 但这届毕业年级出现了这样一道题和大家分享一下.

例：实数x，y满足x2+y2≥1且x2+y2+xy≤1，则的范围.

本题的常规解法如下：

法一不等式法：当x=0时，=0. 当x≠0时，由题易知xy≤0，则≤0（x≠0）所以∈（-∞，0）∪[2，+∞）综上∈（-∞，0]∪[2，+∞）.

法二均值代换法：令m=x+y，

t=x-y，则

x=，

y=代入两个已知式子得m2+t2≥2，

m2

+t2≤1. ①

所求为=1+. 其中表示①式公共区域内的点与原点连线的斜率. 如图1所示，所以∈（-∞，-1]∪[1，+∞），所以∈（-∞，0]∪[2，+∞）.

学生拿到这个题时最大的障碍就是对含有交错项xy的式子表示什么不知道，那么在理解好一点的层次的学生可以多了解一些. 笔者先从旋转坐标系基本问题入手，再证明了一个常用结论.

问题一：对于一般地二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+ Dx+Ey+F=0.

证明：设其旋转坐标系的旋转角为θ时，满足cot2θ= （如图2）. 设op=r，则x=rcos（α+θ）=rcosαcosθ-rsinα·sinθ，所以x=x′cosθ-y′sinθ. 同理y=y′cosθ+x′sinθ. 将此式带入二元二次方程中得交错项x′y′的系数为Bcos2θ-Asin2θ+Csin2θ，要将方程化为标准型需要消去x′y′，则Bcos2θ-Asin2θ+Csin2θ=0，所以cot2θ=.

问题二：证明对于二元二次方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ Ey+F=0. 当B2-4AC<0时，方程标准型为椭圆. 证明思路为x′与y′项的系数同号.

证明：将旋转坐标带入方程后得含有x′的项为

Acos2θ+sin2θ+Csin2θ

x′. 含有y′的项为

Asin2θ-sin2θ+Ccos2θ

y′由问题一得cos2θ=，sin2θ=，sin2θ=，cos2θ=. 其中M=. x′与y′系数之积为[（A-C）2+B2+M（A+ C）][M（A+C）-（A-C）2-B2]=-（A-C）4-2B2（A-C）2-B4+（A+C）2[B2+（A-C）2]=-[B2+（A-C）2]+（A+C）2=（4AC-B2）.

由分析知即要求4AC-B2>0，也就是B2<4AC.

此性质可以推广至双曲线和抛物线.

当B2-4AC>0时Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示双曲线；

当B2-4AC=0时Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示抛物线.