数形结合思想在高中数学解题中的运用

卢江啸

摘 要：数形结合思想属于高中数学解题过程中一种常用的思想，其本身具有简便、直观、形象等优势，针对集合问题采用代数的方法来进行解答，抑或是针对代数问题采用集合图形来进行解答。通过掌握数形结合思想，能够有效整合高中的数学知识，更好地学习数学。

一、数形结合思想概念分析

1.数形结合思想的概述

“数”“形”都是数学组成的重要基础，数量关系当中一般都可以采用直观的图像来进行展示，而任何一个集合图形当中都包含着一定程度的数量关系，因此，将“数”“形”结合起来进行数学问题的解答是一种十分重要的数学解题思想。其主要包含两个方面的内容，一是以形助数，二是以数解形。

2.数与形之间的转化措施

从数形之间的有效转化模式来看，其主要囊括三种，分别为通过形转化为数、通过数转化为形、数与形的互相转化。针对通过形转化为数的模式来看，其通常是根据已知的图形，经过认真地分析以后，将图像当中隐藏的各种数量与相关性造出来，使得几何图形的相关属性能够通过数的方式反映出来。针对通过数转化为形的模式来看，其通常是根据问题当中所给出的各种假设，将与之对应的图形描绘出来，在图形当中体现对应的数量关系，最终揭示数与形之间的本质。针对数与形的互相转化模式来看，其主要是充分利用数与形的相互对立统一特点，来针对图形的形状进行观察，针对数与式子之间的结构实施研究，从中进行对应的联想，进行相应的转化，把原本空洞、抽象的内容转变成形象、直观的内容。

二、数形结合在高中数学解题中的实例分析

1.数形结合思想在集合解题中的运用

集合属于高中数学教学中的基本知识，是掌握其他数学知识的重要基础。而集合无论是在交集、补集以及并集等各个内在关系方面，抑或是其外在表达式方面，都包括了图形的重要意味，数形结合思想在集合解题当中具有十分重要的作用。

例：假设存在两个集合依次为M={（x，y）︳x2+y2=1，x∈R，y∈R}， N={（x，y）︳x2-y=0，x∈R，y∈R}，

则集合M∩N当中的元素个数为几个？

答案：2个。

分析，一般来说，倘若选择单纯的数量关系解题方法，为以下解题思路：x2+y2=1，x2-y=0两个方程通过联立产生方程组，解答之后，获得x4+x2-1=0，虽然这种方法也能够获得x的值，并以此来计算y的值，但这种解题思路的步骤较为复杂，所消耗的时间相对较多。而通过应用数形结合思想，在反复审题之后能够获得x2+y2=1能够表示圆，x2-y=0则能够表示抛物线，就能够将问题转变成为x2+y2=1表示的圆与x2-y=0表示的抛物线之间存在几个交点。通过数形结合的模式，能够通过绘图直观得到答案，避免了过于复杂的计算过程。

2.数形结合思想在函数解题中的运用

函数同样是高中数学中需要掌握的重要知识，其基本上贯穿于整个数学学习的过程中，由于函数本身涉及的内容较为广泛，并且理论性与抽象性相对较高，学习难度也相对较高。然而函数本身不但具有对应的表达式，同时还具有匹配的图像，通过图形，通常可以有效解决许多依靠数学计算难以解决的问题。

例：方程sin2x=sinx在区间x∈（0，2π）内的解的个数为多少？

答案：3个。

分析，倘若选择单纯的数学解题方法为以下解题思路：sin2x=2sinxcosx= sinx，得出2cosx=1，再通过题目已知x∈（0，2π），得出答案为3个。虽然通过单纯的数学计算方法也能够得出答案，然而该方法需要一次进行计算，在解答的过程中可能会因为疏忽导致结果遗漏。而采用数形结合思想，先把两个三角函数的图像在相同坐标系当中分别绘出来。而通过认真观察两个三角函数的图像，能够得到答案为3个。

三、结语

数形结合思想属于高中数学解题过程中应用最为广泛，也是最为重要的方法之一，是把数学问题化难为易、化繁为简的重要方法。作为高中生，必须要充分掌握数形结合思想，在学习数学的过程中进行反复的练习与实践，才能为今后的数学学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]周宝瑞.浅析数学语言能力在高中数学解题中的重要性[D].开封：河南大学，2014.

[2]刘智娟.注重高中数学解题中的“四大法宝”[J].中学数学，2014（23）： 67—68.

（作者单位：湖南省安化县第二中学）