用二重积分计算空间立体体积的新方法

王兆娟

【摘要】探讨一种新的用二重积分计算空间立体体积的简便方法，在不作立体图形的情形下，只需要通过问题的已知条件找出被积函数和积分区域，再由二重积分的几何意义最终得到空间立体的体积，从而解决了因空间立体图形难以描绘，而难以用二重积分计算空间立体体积的问题.

【关键词】二重积分；计算；空间立体体积

【基金】国家自然科学基金（11326114、11401244），江苏省高校自然科学研究面上项目（14KJB110003）.

一、引 言

通过二重积分的几何意义，我们知道，当f（x，y）≥0时，二重积分Df（x，y）dxdy在几何上表示為以z=f（x，y）为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.因此，我们可以根据二重积分的几何意义计算空间立体的体积.在具体解题时，我们可以通过画出空间立体图形，找到被积函数f（x，y）和积分区域D，然后把二重积分化为累次积分计算，最终得到空间立体的体积.但是，这种解题方法的缺点是当空间立体的图形难以描绘时，就很难确定被积函数f（x，y）和积分区域D，从而无法计算空间立体的体积.

本文将探讨一种新的简单方法计算空间立体体积，其思想在于不用画出空间立体图形，只需要通过已知条件找出被积函数f（x，y）和积分区域D，再由二重积分的几何意义得到空间立体的体积为二重积分Df（x，y）dxdy.在现有的研究中，文[2]提出的不作图解题思想与本文相似，但是本文的具体方法与[2]不同，并且[2]的方法存在错误和欠缺，后面本文将通过具体实例验证和说明.

二、方法讨论

根据绝大多数题目给出的已知条件，可以把空间立体体积的计算分为两种情况：

1.围成立体体积的方程中只有一个含z的方程（z=0除外）

在这种情形下，把只有一个含有z的方程，改写成z=f（x，y）（f（x，y）≥0）的形式，那么二元函数z=f（x，y）就是该立体的顶，从而得到计算该立体体积的二重积分的被积函数就是f（x，y）.

下面，我们确定积分区域，把不含z的方程在xOy直角坐标平面上围成的区域，记为D.若D是有界区域，则D就是积分区域.若D是无界区域，则需进一步令含有z的方程（z=0除外）中的z为0，从而得f（x，y）=0.方程f（x，y）=0与不含z的方程在xOy直角坐标平面上围成的区域必有界，这个有界区域就是积分区域.

2.围成立体体积的方程中有两个含z的方程（z=0除外）

在这种情形下，把两个含有z的方程，改写成

z=f（x，y）（f（x，y）≥0），z=g（x，y）（g（x，y）≥0）

的形式，那么所求的立体体积，就是具有相同底的分别以z=f（x，y），z=g（x，y）为顶的立体体积之差.

若立体只是由两个含有z的方程围成，那么积分区域为两个方程消去z后的方程在xOy直角坐标平面上围成的闭区域D.若在积分区域D上f（x，y）≥g（x，y）≥0，则得到计算该立体体积的二重积分

D[f（x，y）-g（x，y）]dxdy.

若围成立体体积的方程中还有不含z的方程，那么不含z的方程在xOy直角坐标面上围成的有界区域D就是积分区域.若在积分区域D上f（x，y）≥g（x，y）≥0，则得到计算该立体体积的二重积分

D[f（x，y）-g（x，y）]dxdy.

若f（x，y）=g（x，y）在xOy直角坐标面上把积分区域D分为D1和D2，在D1上f（x，y）≥g（x，y）≥0，在D2上0≤f（x，y）≤g（x，y），则得到计算该立体体积的二重积分

D1[f（x，y）-g（x，y）]dxdy+D2[g（x，y）-f（x，y）]dxdy.

三、举例说明

为了更好地说明本文用二重积分计算空间立体体积方法的思路，下面举例说明：

例 计算由z=1+x+y，x+y=1，x=0，y=0，z=0所围成的立体体积.

分析 按照常规方法，首先进行作图，如图1所示.

从该图形可以看出立体的顶为z=1+x+y，底为xOy直角坐标面上的区域，如图2所示.

所以该立体体积可以用二重积分表示为：

V=D（1+x+y）dxdy，

其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}.通过计算得到该立体体积为56.

由此可见，利用通常的方法，只要作出了图形，一般就很容易计算空间立体体积.但是，当有些图形难以直接画出，就很难计算空间立体体积.下面利用本文给出的方法，不作图计算空间立体体积.

解 由于已给的方程中只有z=1+x+y中含有z（z=0除外），故取1+x+y作为被积函数.

积分区域D是由不含有z的方程x+y=1，x=0，y=0在xOy直角坐标面上围成的有界闭区域，如图2所示.

四、小 结

本文探讨一种用二重积分计算空间立体体积的简便方法，在不作立体图形的情形下，只需要通过问题的已知条件找出被积函数f（x，y）和积分区域D，再由二重积分的几何意义就可以得到空间立体体积为二重积分Df（x，y）dxdy，从而解决了因空间立体图形难以描绘，而难以计算空间立体体积的问题.如果围成空间立体的曲面方程为本文中的情形，就可以用本文的方法求出立体的体积.本文提出的新方法改正了其他文献相似思想方法的错误和欠缺，该方法可以为广大师生学者解决该类问题提供新的解题思路.