一道几何证明题引发的思考

胡兴伟

【摘要】本题是教材中的一道练习题，学生通过做题发现此题有多种解法，同时结合我的教学实际突发感想，一题多解、一题多变是我们教学的重心，通过题目的各种变换训练学生的思维，从而提高学生思考和分析问题的能力。本题介绍的六种方法从不同的角度来分析和看待问题，体现任何事物都具有多面性，不同的问题用同一种方法或者同一个问题用不同的方法这一辩证的思想，将其贯穿于我们的数学教学中。在这诸多方法中选择哪种能让学生更易理解，从不同的角度来训练学生思考问题的能力，但有些方法需要高中的知识才能解答，所以此题与高中的知识联系非常密切。

【关键词】图形 平行四边形 向量 对角线

义务教育教科书《数学》八年级下册P69复习题18，拓展探索第15题是一道几何证明题且是一道证明命题的证明题。从这题中引发我许多思考，我首先想到的是该题有多少种解法，在这诸多方法中选择哪种能让学生更易理解，从不同的角度来训练学生的思维，但有些方法需要高中的知识才能解答，所以此题与高中的知识联系非常密切。题目如下：

15.求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

已知：如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点.

求证：

证法一：如图1，过点作于点，

在平行四边形中，设AD=a，AB=b，BD=m，AC=n，DE=h，AE=x，则分别有①，

②，

③，

由①×2=②+③，

化简可得，

即

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

证法二：如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点B作BE⊥BD，垂足为E.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，易证BE=AF，AE=BF，

∴，

∵

∴

即

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

证法三：如图3，过A，D两点做BC边的高，垂足分别为E、F

则易知△ABE≌△DCF，BE=CF，AE=DF

利用勾股定理得

所以

即

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

证法四：如图4，以顶点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A（0，0）.设B（a，0），D（b，c），由平行四边形的性质得点 C的坐标为（a+b，c），因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

解析：余玄定理是高中的知识点，它可以帮助我们解决一些生活中的问题。相同的问题比用初中的知识来解更为简单。

总之，一题多解、一題多变是我们教学的重心，通过题目的各种变换训练学生的思维，从而提高学生思考和分析问题的能力。本题介绍的六种方法从不同的角度来分析和看待问题，体现任何事物都具有多面性，不同的问题用同一种方法或者同一个问题用不同的方法这一辩证的思想，将其贯穿于我们的数学教学中。

作者简介：齐廷廷（1989-）女，黑龙江省大庆市，研究方向：中外政治制度