数学教学中发散性思维培养的几条途径

毛永星

【摘要】 发散性思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同的角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式，对于提高学生的学习兴趣和提高学生的探索能力有很大作用. 因此，在初中数学课堂教学中，教师有意识从课堂教学的细节入手，针对学生进行发散性思维训练，既可以提高学生的数学思维能力，又可以提高数学教学有效性. 本文结合初中数学课堂教学实际，对在课堂教学中开展发散性思维训练的途径进行探讨.

【关键词】 课堂教学；发散性思维；途径

中学数学教学的主要任务，一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养；另一方面，要培养学生数学思维能力，提高学生的数学能力. 长期以来，中学数学教学以集中思维为主要的思维方式，教材上的题目和素材的呈现过程大都是这种模式，学生习惯于用常规的思路和方法解决问题，这对于数学兴趣的激发、数学能力的发展是不够的. 发散性思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同的角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式，对于提高学生的学习兴趣和提高学生的探索能力有很大作用. 因此，在初中数学课堂教学中，教师有意识从课堂教学的过程入手，针对学生进行发散性思维训练，既可以提高学生的数学思维能力，又可以提高数学教学有效性. 本文结合初中数学课堂教学实际，对在课堂教学过程中如何开展发散性思维训练的途径进行探讨.

一、善用联想培养发散性思维

联想是指由一种事物想到另一种事物的心理过程. 我们应根据已有的知识和经验，从不同角度、沿不同方向寻求解决的办法，训练发散思维的变通性. 学生的知识储备、信息量越丰富，联想力就越强，思路就越广阔，发散思维就更具有流畅性、灵活性和独特性. 没有思维的灵活性，也就没有发散性思维可言. 因此，要培养学生的发散思维能力，就要培养联想能力，训练思维变通能力. 如在九年级下册《相似三角形》的判定这一章节的教学中，重视比例性质和线段的分拆训练是非常重要的.

例1 已知，如图在△ABC中，∠B = 2∠C，求证：AC2 = AB2 + AB·BC.

分析 本题的证法不能一眼看出，但在结论变形后，即为AC·AC = AB（AB + BC） = 的比例式，可联想两个三角形的对应边之比，故需出现（AB + BC）线段，想到延长AB至E，使BE = BC，连结EC，这样就是AE = AB + BE = AB + BC了. 从而构成三角形△AEC，只需证明△ACE∽△ABC即可. 由此可见，如果没有一定的相似三角形知识，解题经验和作图技能，这里一次又一次的推理是难以进行的. 因此，在学生的学习中，要注重基础知识的领会与掌握，注意知识间的联系与区别. 只有基础扎实了，才能做到融会贯通，举一反三，提高思维的灵活性，从而达到对学生发散思维能力的培养.

二、巧用求异培养发散性思维

发散思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力. 教师要善于选择具体题例，创设问题情境，精心诱导学生的求异意识. 对于学生在思维过程中时不时出现的求异因素要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己求异成果的价值. 对于学生欲寻异解而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向. 在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗？”，“再从另一个角度分析一下”的求异思考. 在课堂教学过程中，充分利用学生乐于求异的心理倾向，是培养的发散性思维能力的重要手段.

例2 已知点B在直线AC上，AB = 8 cm，AC = 19 cm，P，Q分别是AB，AC的中点，求PQ的长度.

（一般的学生看完题目之后立刻就可以画出如图2所示的平面图形来进行如下的求解：）

解析 依据题意，可以画出图2，再由线段的性质可以求出PQ的长度

∵ AB = 8 cm，AC = 19 cm

P、Q分别是AB、AC的中点，∴ AQ = QC = AC = 9 cm，AP = PB = AB = 4 cm，∴ PQ = AQ - AP = 9 - 4 = 5 cm

即求出PQ的长为5 cm.

解完到这里，很多学生都很高兴自己将此道题目完成了，但是对一部分善于思考，善于求异的学生不难发现其还有另外一种情况存在（即点B不在线段AC上），这样又可以画出另外一种平面图形来求解PQ的长度.

解析过程如下：

解 依据题意，可以画出图2，再由线段的性质可以求出PQ的长度

∵ AB = 8 cm，AC = 19 cm

P、Q分别是AB、AC的中点，∴ AQ = QC = AC = 9 cm

AP = PB = AB = 4 cm，∴ PQ = AQ + AP = 9 + 4 = 13 cm

即求出PQ的长为13 cm.

可见，学生在求异心理倾向驱使下，那些相关的基础知识、解题经验会处于特别活跃的状态，对题中数量作出各种不同形式的重组，逐步形成发散思维能力. 因此，在数学教学过程中，教师要抓住时机引导学生突破模式，摆脱框架思路的束缚，从不同角度灵活出题. 学生对所给的条件从不同角度分析、构想和重组，实现了思维的发散，学生的思路开阔了，分析问题，解决问题，探求新知识的能力逐步培养起来，创新的意识也油然而生.

三、多种角度培养发散思维

培养学生能善于沿着不同角度、顺着不同方向、选择不同方法，对同一问题从多方位、多层次、多侧面认识. 在教学中，我们应自始至终、持之以恒地引导学生不拘泥于狭隘的解题思路，突破单一的思维模式，诱导他们转换角度多方思考，探索多种解题方法从而培养学生思维的发散性.

例3 如图4，已知等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD = AE = 2.若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒.当t > 0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.

（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；

（2）当t为何值时，AB⊥GH；

（3）请你证明△GFH的面积为定值；

（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点.

分析：此题综合性比较强，运用了函数的知识、平行线的性质、线的位置关系、三角形面积、线段的性质等知识的动点问题.

解析 （1）如图5，∵GA∥BC，∴ = ，又∵ AB = 6，AD = 2，∴ DB = 4，由于BF = t，∴ = ，∴ AG = t.

过点E作EK⊥AG，垂足为K.

∵∠BCA = 60°，∴ ∠CAK = 60°，∴ ∠AEK = 30°，

∵ AE = 2，∴ AK = 1，∴ EK = .

∴ S = AG·EK= × t × = t.

（2）如图5，连接DE，由AD = AE可知，△ADE为等边三角形.

若AB⊥HE，则AO = OD，∠AEO，∵GA∥DE，∴∠AGE = ∠GED，∴∠AGE = ∠AEG，∴ AG = AE = 2，∴ t = 2，t = 4.即当t = 4时，AB⊥GH.

（3）法一：

∵ GA∥BC，∴ = ，由合比性质得 = .

∵ DE∥BC，∴ = ， = ，∴ FH = BC.

∵ △ABC与△GFH的高相等，∴ S△GFH = S△ABC = × 6 × 3 = 9.

∴不论t为何值，△GFH的面积均为9.

法二：∵ △GAD∽△FBD，∴ = = .

∵△GAE∽△HCE，∴ = = ，∴ BF = CH.

当点F与点C重合时，BC = FH，

当点F在BC边上时，BC = BF + FC = CH + FC = FH，

当点F在BC的延长线上时，BC = BF - FC = CH - FC = FH，∴ BC = FH.

∴ S△GFH = S△ABC = × 6 × 3 = 9.

∴不论t为何值，△GFH的面积均为9.

一题多解是启发学生思维的重要手段，它从不同的角度去寻找解决问题的各种可能途径和思维空间，探求不同的解答方案，从而拓广思路，使思维向多方向发展，培养思维的发散性.

例 4 如图6，以△ABC的个边向BC同侧作等边△ABD，△BCF，△ACE，求证：四边形AEFD是平行四边形.

在引导学生解决了问题之后，为培养学生的发散性思维，如果继续为学生设计如下的探究性问题：“（1）当△ABC满足_时，四边形AEFD是菱形，请说明理由. （2）当∠BAC = _度时，四边形AEFD是矩形，请说明理由. （3）当∠BAC =_度时，以A，E，F，D为顶点的四边形不存在，请说明理由”；这样，不仅可以培养学生的探索精神，还使他们的思维变得更加活跃发散. 学习的过程是发现问题、提出问题、解决问题的过程. 因此，教师在同一个问题上多问或引导学生问一些问题（最好要有梯度，而不是类似问题的简单堆砌），久而久之，学生在潜移默化中慢慢地学会举一反三，触类旁通了，从而真正达到培养发散思维能力的目的.

四、归纳推理培养发散性思维

归纳推理是指由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征，或者由个别事实概栝出一般结论，（简称归纳）部分推出整体，个别推出一般的重要的数学推理方法. 在课堂教学中注重归纳推理，对于培养学生的发散性思维能力是必不可少的重要过程.

例5 在一次聚会中，共有6人参加，如果每两个人我一次手，共握几次手呢？如果n个人又握几次手呢？

分析 通过现实握手实验可以将6个人的握手次数找出来，但是n个人的握手次数就不是想象中的那么容易，而且在学习了线段性质的基础上，如果将本题研究握手次数问题转化成研究直线上的点构成线段的条数问题，这里把每个人看作一个点，这样就可以很容易求出答案. 为了解决问题，我们设计下列图表进行探究：

解 根据表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案

6个人握手次数为：15次.

n个人握手次数为：（n - 1） + （n - 2） + （n - 3） + … + 4 + 3 + 2 + 1 =

综上所述，作为数学教师应重视初中数学课堂教学的过程，充分利用一切课堂教学资源，从教学细节入手，注重培养学生发散性思维能力，提高课堂教学的有效性，为学生今后进一步学好数学知识，直至成为创新性人才奠定坚实的基础.

【参考文献】

[1]李勃.探索式教育中的制约因素，北京教育出版社，2001.

[2]高文.《现代教学的模式化研究》，山东教育出版社1998年10月版.

[3]曾铮，孔凡哲.数学学习心理学 北京大学出版社 2009年三月版.