直尺、圆规将圆五等分的讨论

刘清华 蒋力

【摘要】 机械制图的几何作图部分往往会涉及圆周被等分的问题，许多搞制图的人也都知道圆周五等分的尺规作图方法. 但是，该方法是如何来的，其中原理又是什么，却为一般人所不知了. 本文将利用数学的知识来讨论其中的原理.

【关键词】 尺规作图；圆五等分

直尺、圆规作图是机械制图中必学的一种几何作图方法，但有些尺规作图方法的原理并未给出. 探究其中的原理对于利用直尺、圆规作更复杂的图形有一定的指导作用. 本文利用数学的知识讨论了圆五等分的尺规作图方法的原理.

若想准确地将一个圆五等分，其中有两个关键点：如何选取弦长的大小？如何截取该弦长的线段？

1. 弦长大小的计算

我们知道，圆五等分分出来的弦所对的圆心角是72°（图1），现假设圆的半径为1，利用余弦定理：

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

则有：弦长的平方 = 2 - 2cos 72°，为此要先确定cos72°的值.

因为sin 360° = sin5 × 72° = 0，利用两角和公式、二倍角公式及平方关系：

sin（α + β） = sin α cos β + cos α sin β

sin2α = 2sin α cos α

cos2α = 1 - 2sin2α

cos2α = 1 - sin2α

不妨计72° = α，则有：

sin5α = sin（α + 4α） = sin α cos 4α + cos2sin4α =

sin α（1 - 2sin22α） + cos α × 2sin2 αcos 2α =

sin α - 2sin α（2sin α cos α）2 + 2cos α × 2sinαcosα（1 - 2sin2 α） = 16 sin5α - 20sin3α + 5sinα = 0.

∵ sin α ≠ 0，∴ 16sin4α - 20sin2α + 5 = 0，

sin2α = = （舍负取正）.

∴ sin2α = .

进而cos272° = 1 - sin272° = .

∴ cos72° = = = = .

进一步：弦长的平方 = 2 - cos 72° = .

2. 弦长线段的构造方法

如何准确地截出平方为的线段？勾股定理启发我们，应利用直角三角形解决此问题.

将变形为：1 + =1 + = 12 + 2 = 12 + - 2.

为此，只需构造一个两直角边分别为1和 - 的直角三角形，其斜边即是所要截取的弦长了.

长为 - 的线段，同样利用直角三角形进行构造，根据勾股定理，正好是直角边分别为1和的直角三角形的斜边.

3. 圆五等分尺规画法

有了上面的理论分析，圆五等分的尺规画法如下：

① 作圆的半径OA，将圆规的一脚放在A点上，通过圆心O画半圆，并与圆交于两点E，F. 连接EF与OA相交于C点，此C点即为半径OA的中点，|OC| = （假设圆的半径为1），如图2.

② 作与半径OA垂直的半径OB，连接BC，则|BC| = ，将圆规的一脚放在C点上，以|BC|为半径作另一个圆，交OA所在的直线于点D，则|DC| = ，|DO| = - ，如图3.

③ 连接BD，在Rt△BOD中，|OB|2 + |DO|2 = 12 + - 2，则|BD|2 = ，即|BD|为圆五等分所分出的弦长. 将B点视为圆五等分的第一个分点，将圆规的一脚放在B点上，以|BD|为半径作圆，交圆于两点G，H，这两点是圆五等分的第二、三个分点，如图4.

④ 将圆规的一脚分别放在G，H点上，同样是以|BD|为半径交圆于另外两点I，J，这两点就是圆五等分的最后两点，如图5.

【参考文献】

[1]蓝汝铭.机械制图[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]刘正中.五等分圆周作图题的几种证法[J].数学教学研究，1983（2）：2-3.