杨玲 杨春华
【摘要】文章就影响高考数学试题难度中最基本的情景因素、技能水平因素、知识含量因素、模块数量因素等作出了分析和探讨,从中得到一点关于高考试题难度的启示或建议,仅供学识们参考.
【关键词】高考数学;试题难度;分析研究
一、影响我国高考数学试题难度的主要因素
1.情境因素
情境因素又称新鲜度,它主要是指学生对高考试题的模式情境对多数考生而言的新鲜度,通常我们可以用影响得分的百分比来衡量.在高考试题中,对数学概念、定理以及规律的考查通常寓于一定的情境之中,试题情境的设立如果是学生所熟悉的且经历过的,那么对学生就会已经构成了认知结构,并能迅速地从情境设计里提出隐藏的内在含义,学生就可以非常顺利地有效地找出解题辟径,突破试题难点.反之的话,学生面对一个很陌生、很新颖的试题情境,就会无法构成解题模式,或不知该从试题中如何跳出,那么学生就必须一步一步地对试题情境进行分析,逐一地排出障碍,才能构建新的解题策略,方能解得问题的答案.因此,试题的情境越新颖,对学生而言其难度系数就会越大,而区分度也会随之增大.
2.技能水平因素
影响高考数学试题的第二大难度就是技能水平因素,亦称“思考量”.高考学生对数学试题的解答,通常是在解读试题之后,写出解题答案之前,往往都要对试题作出一番思考或思量分析试题的历程,并在解题答案书写过程中,常常会遇到一些无法预知的问题障碍或关卡,因此学生就必须经过进一步的思考方能解决.对于高考试题思考的愈多,显而易见这道试题的难度就会愈大,因此,技能水平因素是影响高考试题绝对难度的另一重要因素.
3.知识含量因素
在一般情况下,高考学生在审读试题和解答试题的整个过程中,所需的知识量愈大,那么高考试题就会愈难.这个因素虽为试题的本身来决定的,但是却难以给出客观的衡量方法,这是由于学生对试题的审读与解答过程是由每名学生分别进行的,由于审读理解的角度不同、解法不同,在整个过程中所用到的知识点和知识量也是有着明显的区别,但是如果一道试题出现的解题步骤和试题宽度变宽,学生的学习记忆就会出现超负荷现象,使得有些信息在解题过程中与之失之交臂或丢失发错.这就会由于试题所包含的知识含量过高或者过宽,影响学生的考试分数.因此,对于一道试题学生所需完善的步骤愈多,逻辑推理量或知识量量愈大,其试题难度就会愈高.
例如:(2014 浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.
(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);
(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).
则().
解析首先,这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的,根据已知条件可以分两种情况:既当ξ=1时,有可能从乙盒中拿出一个球放入甲盒,也可能是拿到一个蓝球放到甲盒中;而当ξ=2时,则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝,或者两个红球.分析之后,就可以利用考查的概率公式和分布列的知识求出P1,P2和E(ξ1),E(ξ2)的值,并进行相互比较即可.
分析学生在解读这道试题时,心里知道这道试题的考查方向——概率与统计.这是从大的方向来说,而在逐步分析和解析这道试题中,其中所包含的考点主要还包括:离散型随机变量的期望与方差、相互独立事件同时发生的概率以及离散型随机变量及其分布列等等.那么这一系列的定义和定理,就需要考生全面分析到位,并逐步地运用到位,掌握考查要点以及解题思路.从而化险为夷,步步为营,同时深入理解和运用所给出的已知条件i(i=1,2)的真正含义,是学生解题的关键所在.此题给统计和概率问题植入新的一角,立意深远,同时需要学生边分析边推理,知识含量概括全面,因此在一定的程度上,对学生分析问题的能力、数学的观察能力提出了更高的要求.
4.模块数量因素
模块数量因素主要是对考查的试题广度越对广,那么所需的知识点跨度也就是知识模块数量愈多,其试题难度就会相对地增加.在同种类型的试题中,由于试题所考查的知识点、知识点之间的彼此联系复杂程度以及跨度不同,那么尽管考查的类型相同,但是由于中间所需的知识数量模块不同,导致试题的难度也是不尽相同的.在一般情况下,考查的一道试题其知识点愈多、数量值越大、跨度愈大、知识点联系愈复杂,那么学生在解答过程中所需的解答手段、解题思想、解题方法、解题策略就会愈多,一道试题的模块数量愈多,那么知识融会贯通的要求就会愈高,而试题的难度系数就会大大地增加.
例如:(2014 浙江)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).
(Ⅰ)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(Ⅱ)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.
解析(Ⅰ)首先,考生要利用分段函数并结合已知条件[-1,1],并运用数学思想中的分类讨论思想法进行解答,即可求出M(a)-m(a);
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+b,则h(x)=x3+3x-3a,x≥a①;h(x)=x3-3x+3a,x
①a≤-1时,∵-1≤x≤1,∴x≥a,f(x)在(-1,1)上是增函数,∴M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a,∴M(a)-m(a)=8;