浅析反例在初中数学教学中的功能

李强

反例，通常是指符合某个数学命题条件，但不符合该命题结论的例子，在教学中，恰当地引入典型的反例，能给学生深刻的印象，这对理解数学概念，掌握数学方法，培养探索能力，激发学习兴趣，唤起数学美感，都将起很大的作用.

然而举反例并不是一件容易的事，有时甚至比证明一个命题是真命题更难. 本文结合教学实例，谈谈反例的教学功能及构造方法.

一、 反例的教学功能

1. 有利于深刻理解数学概念

概念的反例，提供了最有利于辨别的信息，可以进一步使学生对所学概念进行反思，达到“去伪存真”的效果.

例1 教学“正多边形”的概念.

有些学生认为，边相等或角相等就是正多边形，这是受正三角形概念的影响，教学中，若能及时地引入“角相等→矩形；边相等→菱形”这样的反例，就能消除这种负迁移. 为了加深理解，还可用下列判断题组考查学生.

① 圆内接等边多边形是正多边形？

② 圆内接等角多边形是正多边形？反例：矩形.

③ 圆内切等边多边形是正多边形？反例：菱形.

④ 圆外切等角多边形是正多边形？

⑤ 既有一个内切圆，又有一个外接圆的多边形是正多边形？反例：非等边的三角形.

2. 有利于全面掌握数学定理

恰当引入反例，可以帮助学生牢记定理的关键词语，得到全面掌握的效果.

例2 教学“垂径定理及其推论”.

垂径定理推论之一：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 其中“非直径”三字，很多学生视而不见，为此，教师可举反例“两条斜交的直径”来强调.

垂径定理推论之二：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 在具体的证题过程中，很多学生总是想当然地逆用：圆的两条弦所夹的弧相等，则这两弦平行. 却不知这个逆命题不成立，教学中可举反例：同圆两条直径所夹的弧相等，但它们相交，而不平行.

3. 有利于准备应用公式

很多性质、法则都是以公式的形式出现的，它们也都有一定的成立条件，教学中要充分利用反例，尝试“增解”和“漏解”的错误，达到准确应用公式的目的.

例3 教学“等比性质”.

4. 有利于培养严谨思维，挖掘探究潜能

通过例4的探究求解，学生便会“吃一堑，长一智”，从而培养了他们思维的严谨性. 让我们再看两个例子.

例4 覆盖三角形的最小圆是什么？

学生一般会笼统地认为是这个三角形的外接圆. 教师可引导学生分类去探究，便会发现以钝角三角形的最大边为直径的圆，才是覆盖这个钝角三角形最小的圆. 从而使学生深深地感觉到：凡事要周密思考，严防以偏概全.

5. 有利于激发学习兴趣，提高数学素养

美国数学家比尔鲍姆说得好：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧，使人得到享受和兴奋，为数学作出的许多最优雅的例子证实了这一点.”我们再看：

例5 现代数学教育家G.波利亚曾向人们提出一个饶有趣味的问题：“若两个三角形有5对元素相等，则这两个三角形全等吗？”

当5对元素中有3对元素是边，毫无疑问，这两个三角形全等.

6. 有利于发现、创造数学成果

和数学证明一样，数学反例在数学的发展中占有重要地地位，因为对于数学问题的探究，反例的作用是证明所无法替代的，用反例否定猜想，揭示矛盾，能刺激问题的深入研究，促使数学观念更新.

二、构造反例的方法

托尔斯泰曾说：“知道地球是圆的并不重要，重要的是人们怎样得到这个结果的. ”反例在教学中的作用固然巨大，会令人终生难忘，但学生更想知道反例是怎样构造出来的.

1. 从特殊情况入手，探究尝试

反例的构造，没有“公式化”方法，而是要不断地试探和验证，有时还需要一点灵感，前面的反例就说明了这一点，但我们通常构造反例，还是从特殊情况入手，有时甚至极端化.

2. 打破思维定式，穷尽各种可能

司马光砸缸救小孩的故事，充分说明了求异思维的重要性，打破思维定式，穷尽各种可能，是构造反例的又一途径.

提到三角形，我们常想起锐角三角形，有时候也要注意钝角三角形. 三角形的高，我们常画在形内，有时候也可以在形外. 类似地，圆心可在两弦之间，也可在两弦同旁；公共弦可以在两圆心之间，也可在两圆心同侧……这些都是我们解题时需要穷尽的可能，也都是我们构造反例的入手点.

在数学解题教学中，与正面推理证明相比，数学反例对学生思维的刺激更为强烈. 因此，教师常在教学关键时刻，巧用简明的数学反例，往往可以击中学生思维误区的要害，促使他们深入思考问题，透彻理解问题的本质.