具有双时滞的离散SIS传染病模型稳定性分析

付恩骏 黄正阳 陈定均 王斌

【摘要】首先我们通过非标准有限差分法将连续的SIS模型化成离散模型.接着分析此模型的无病平衡点E0，地方性平衡点E*以及阈值σ；当σ>1时，无病平衡点全局稳定；反之疾病持续.

【关键词】非标准有限差分法；全局稳定；持续；时滞

1.引言

在连续的SIS传染病模型，如文献[1]根据传染病的生物意义考虑潜伏时滞与康复时滞.在文献[2]中又考虑这样的时滞∫ω0I（t-s）dη（s），而文献[3]的作者根据非标准有限差分法将此系统化成差分系统，从而也得到与文献[2]相同的结论.基于以上学者的基础我们首先考虑一个SIS模型如下：

S（t）′=λ-β（I）S（t）∫τ0I（t-s）dη（s）-μ1s（t）+γe-μ2ωI（t-ω），I（t）′=β（I）S（t）∫τ0I（t-s）dη（s）-（γ+μ2）I（t）.（1）

2.模型以及无病平衡点的稳定性

将模型（1）通过非标准有限差分法化成差分模型如下：

Sn+1-Sn-=λ-μ1Sn+1-β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk+

γe-μ2ωIn-ω，In+1-In=β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk-（μ2+γ）I（t）.（2）

这里Sn，In分别表示易感者组和感染者组；正常数λ，μ1，μ2，γ分别表示出生率，易感者死亡率，感染者死亡率和康复率；β（I）表示單位时间内有效接触率，发生β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk形式也说明时滞的变化.根据文献[3]，我们假定β（I）是正定的函数且存在Iβ>0使β（I）在区间[0，Iβ]上是非减的；t≥0，ω≥0是时滞；在根据文献[2]定义数列是非减且有界变集ηk：-∞<ηk<+∞（k=0，1，2，…，T=max{τ，ω}）.

我们给出系统（2）的初值条件Sn=ψn（1），In=ψn（2），n=-T，-T+1，…，0（3）

这里ψ（i）n≥0（n=-T，-T+1，…，0，i=1，2）.通过生物意义，我们假定ψ（i）0>0，i=1，2.当β（I）=β>0是常数，系统（6）的无病平衡点是E0=（S0，0），S0=λμ1.我们令正数A=∑τk=0In-kηk并且定义阈值σ≡β（0）Aλμ1（μ2+γ）.如果σ>1，系统（2）有一个地方性平衡点E*=（S*，I*），S*=μ2+γβA，I*=λ-μ1S*μ2+γ-γe-μ2ω.

引理1对系统（2）任意的解（Sn，In）当n∈N时，那么（Sn，In）>0.

证明根据系统（2）的第一个方程我们得到Sn+1=λ+Sn+γe-μ2ωIn-ω1+μ1+β（In）∑τk=0In-kηk，从初值条件（3）和S0>0，很容易看出S1>0，以此类推我们很容易得到Sn>0.再从（2）的第二方程，我们得到In+1=In+β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk1+μ2+γ，当n>0时，从初值条件（3）和S1>0，我们得到I1>0，以此类推我们很容易得到In>0.引理1得证.

定理1对于系统（2）的任意解（Sn，In），那么人口总数Nn≡Sn+In满足limsupn→+∞Nn≤λμ1.

证明首先我们定义人口总数Nn≡Sn+In.从系统（2）我们得到

Nn+1-Nn=λ-μ1Sn+1-μ2In+1-μ3Rn+1.（4）

根据生物的自然意义我们可知μ1≤μ2，又因为γ>0所以μ1<μ2+γ.那么

Nn≤λ+Nn-1-μ1Nn≤λ+Nn-11+μ1≤λ1+μ1×1+λ1+μ1+…+λ1+μ1n-1+1[]1+μ1nN0=λμ11-11+μ1n+1[]1+μ1nN0≤maxλμ1，N0.

如果λμ1≥N0，很容易看出当n→+∞时，Nn≤λμ1.如果λμ1≤N0，从等式（4），得到

N1≤λ+N01+μ1<λμ1=N0.因此，我们可知有N1

接下来我将考虑系统（2）的无病平衡点E0的全局稳定性.首先我们仍然假定β（I）=β>0，其次我们使用类似于文献[3]当中的建立Lyapunov函数的方法证明无病平衡点E0的稳定性.

定理2当σ<1时，无病平衡点E0全局渐近稳定.

证明我们考虑下面的Lyapunov函数：

Vn=In+c1∑τk=0（∑nl=n-kIl）ηk+c22（Sn-S0）2，这里ci>0（i=1，2），

ΔV=Vn+1-Vn=In+1-In+c1∑τk=0（In+1ηk-In-kηk）+c22{（Sn+1-S0）2-（Sn-S0）2}.

又因为当n≥0时Sn

ΔV≤-c2μ1（Sn+1-S0）2-（μ2+γ-c1A）In+1+[βSn+1-c1-c2βSn+1（Sn+1-S0）]∑τk=0In-kηk+c2γe-μ2ω（Sn+1-S0）In-ω

选择ci>0（i=1，2，3，4）满足c1A<μ2+γ（5）与βSn+1-c1-c2βSn+1（Sn+1-S0）<0（6）

因为σ<1，可以知道βAS0<μ2+γ，我们选择c1=βS0那么（5）就成立.将c1=βS0代入（6）得到β（Sn+1-S0）（1-c2Sn+1）<0，只要c2充分小也成立.因此ΔV是负定的并且ΔV=0时当且仅当Sn+1=S0，In+1=0.此定理证毕.

【参考文献】

[1]WangW.GlobalbehaviorofanSIRSepidemicmodelwithtimedelays[J].Appl.Math.Lett.2002，15：423–428.

[2]ZhangH，ChenL，NietoJ.Adelayedepidemicmodelwithstage-structureandpulsesforpestmanagementstrategy[J].NonlinearAnal.RealWorldAppl.2008，9：1714–1726.

[3]SekiguchiM.GlobaldynamicsofadiscretizedSIRSepidemicmodelwithtimedelay[J].J.Math.Anal.App.2010，371：195-202.