教材例题与习题的拓展初探

近几年来的高考数学试题，总能在试题中找到课本例题或习题的影子：2011年陕西高考文理第18题叙述并证明余弦定理，2012年福建高考理科第17题源自人教A版必修四第三章习题3.1的B组第3题；如2013年福建高考理科第9题源自人教A版必修五第二章的复习参考A组第10题，第18题源自人教A版选修2-1第二章习题2.2的B组第4题；2014年高考湖北卷文理科数学均有约90分试题源自课本…….它们中有些高考试题直接来源于习题或例题，有些高考试题来源于例题、习题的改编，而有些高考试题的结论、方法来源于课本.

目前不少教师在平时的教学和高考复习中常出现一个误区：偏爱各类参考资料，四方搜集各种课外习题，而将课本抛在一边，结果导致学生对课本中的概念、基本思想方法模糊不清，基本公式的来龙去脉不甚知晓，对通性通法不熟练，而一味去搞“题型分析”，去寻找“解题妙法”，在答卷时就可能去钻牛角尖，死套“题型”硬要去用“巧妙方法”，从而导致不必要的失分.因此在基于数学本质的原则下，用好用活教材中的例题与习题，能够较好的让学生掌握中学数学基础知识、基本技能、基本思想和基本方法，提高学生的思维能力、运算能力、空间想象力及分析运用知识解决实际问题的能力.以下谈谈本人在教材例题与习题的拓展研究中的几点做法和感受.

1.例习题的拓展是在基于数学本质的原则下，为的是让学生更好更快地掌握数学知识，因此问题的拓展不一定要多么的深入，综合程度也無需过高.学生易错之处最易进行例习题的拓展.

例1“已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截的弦长为45，求直线l的方程.”（源自人教版《必修2》P127页例2）

拓展：“已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截的弦长为8，求直线l的方程.”

拓展的意义：教材例题中，先由勾股定理，求出圆心到直线l的距离为5，然后假设直线l方程的点斜式方程，利用圆心到直线距离公式，得到一个关于斜率k的方程，求出k有两个值，进而求出直线l的方程，有两个答案.如果拓展后仍然沿用此法，则求出的k只有一个值，却忽略了斜率不存在的直线x=-3也是答案之一.经过拓展，让学生掌握在求直线的斜率之前，必须考虑斜率是否存在，培养学生思维的慎密性.

2.改变例习题中的某些条件亦是例习题拓展常见方式.

例2“过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的画圆，借助信息技术工具，观察它与抛物线准线l的关系，你能得出什么结论？”（源自人教版《选修2-1》P81页复习参考题B组第7题）

拓展：其中条件“过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F”拓展为“不过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F”.

拓展的意义：利于拓展学生的发散思维.

3.研究逆命题是否成立让例习题拓展成为一种常态教学行为.

例3“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.”（源自人教版《选修2-1》P70页例5）

拓展1：“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点B作直线DB平行于抛物线的对称轴，交抛物线的准线于点D，求证：A，O，D三点共线.”

拓展2：“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点B作直线DB平行于抛物线的对称轴，交直线AO于点D，求证：点D在抛物线的准线上.”

拓展3：已知A为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D，过点A作x轴的平行线，交抛物线的准线于点C，则CF⊥DF.（文[1]中对此已做详细说明论证）

拓展的意义：通过拓展，让学生们理解“A，O，D三点共线”、“点D在抛物线的准线上”、“直线DB平行于抛物线的对称轴”三个条件中，由其中任意两个可以导出剩余一个.另外还可引导学生类比研究椭圆、双曲线也有类似的性质.从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神.

4.将例习题归纳总结，导出一般性规律.

例4（1）“点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和这到直线l：x=254的距离的比是常数45，求点M的轨迹.答案是椭圆x225+y29=1.”（源自人教版《选修2-1》P47页例6）

（2）“点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和这到直线l：x=165的距离的比是常数54，求点M的轨迹.答案是双曲线x216-y29=1.”（源自人教版《选修2-1》P59页例5）

拓展：研究定点和常数比、焦点、离心率，联系抛物线定义，探索它们与椭圆、双曲线、抛物线的关系.

拓展的意义：引导学生归纳出圆锥曲线的统一定义.

对教材例习题的拓展探究，还可通过改变问题背景、将不同章节问题交汇综合等.不仅能激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神，同时对提高教师自身的专业素养起着积极的促进作用.

【参考文献】

[1]吴绪坤.一道课本例题的拓展与利用，数学学习与研究，2013（15）：98-99.