新题旧解与旧题新解

何晓静

【摘要】数学学习离不开解题，而解题教学中应关注学生一题多解，多题一解、培养思维的广度与深度，本文以两例新题旧解和旧题新解说明数学知识纵横交错，相互联系，应给学生时间、空间思考，让其充分转化、融会贯通.

【关键词】新题旧解；旧题新解；转化；联系

一、新题旧解

苏科版九下6.7用相似三角形解决问题

如图1，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF=3cm，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m.设小丽的身高为1.6m，求灯杆AB的高度.

图1

生1：如图2，连接EC.设AB=xm.

图2

易得四边形ECDF是矩形，则EC=FD=3，EC∥FD.∴△AEC∽△AGF.由相似三角形对应高的比等于相似比可得x-1.6x=34，解得x=6.4，∴AB=6.4.

点评这种方法将已知数据转化到了一对相似三角形中，较之书上给出的两对三角形相似，更为简洁，需要对三角形相似有很高的敏感度.

生2：可以建立平面直角坐标系求.

如图3，以G为原点，GB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则G（0，0），E（4，1.6），C（7，1.6），F（4，0）.则直线GE的函数表达式为y=0.4x，直线FC的表达式为y=815x-3215.

图3

由y=0.4x，y=815x-3215，得x=16，y=6.4.

∴A（16，6.4），∴AB=6.4.

点评代数问题几何化，将形转化为数，这也是解决几何问题的巧妙方法.

二、旧题新解

n个球队进行单循环比赛（参加比赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场），总的比赛场数应为多少？

在学完概率后，学生想到可以用树状图或表格法来求总数，若考虑重复，每两个队之间可以比赛两次，则可转化为n个质地相同的球不放回地摸出两个，求所有等可能结果数：

第二次结果第一次123…n

1（1，2）（1，3）（1，…）（1，n）

2（2，1）（2，3）（2，…）（2，n）

3（3，1）（3，2）（3，…）（3，n）

…（…，1）（…，2）（…，3）（…，n）

n（n，1）（n，2）（n，3）（n，…）

因此所有等可能的结果数为n2-n，现单循环比赛，∴比赛次数为n2-n2.

点评：这道题原本是在一元二次方程的章节中出现的，用的方法有两种：①若考虑每两队互相比赛两次，则每个队需与另（n-1）个球队比赛，共n个队，则共比赛n（n-1），则单循环共比赛n（n-1）2次.②第1支球队需与（n-1）个球队比赛，第2个球队需与（n-2）个球队比赛，……，比赛总数为（n-1）+（n-2）+…+1=n（n-1）2，该学生将这道题转化为概率中计算所有等可能结果数的问题的，使问题大大简化了.

三、反思

以上学生的解法都没有局限于当课的方法，在思考出常用方法后又与前面所学知识产生了联系，用以前学过的方法解决新的问题，或用新的方法解决旧的问题，很好地体现了转化的思想方法，将知识进行纵横联系，教学中经常给学生留有思考的空间，经常这样训练，有助于学生将零散的知识网络化，融会贯通.

两道高考与联赛试题的同型探源两道高考与联赛试题的同型探源

◎陈文雅（浙江省宁波中学，浙江宁波315100）

【摘要】高考试题与联赛试题作为两类高水平试题，它们在命制过程中会有千丝万缕的联系，本文通过两道高考与联赛试题，来揭示试题命制过程中的同源性背景，以期把握试题命制的方向，提高复习效率.

【关键词】斜率；相反数；切线

圆锥曲线中有许多精彩、漂亮的性質与结论，而且在这些性质与结论中经常会遇到一些定点与定值问题，纵观近年高考与竞赛试题也不乏类似问题的考查，本文试图将两道高考与竞赛试题罗列在一起，对它们的来龙去脉进行本质的剖析，以期把握试题的命题方向，提高复习效率.

一、试题精彩回放

试题1（2009年辽宁省高考数学试题）已知椭圆C过点A1，32，两个焦点为（-1，0），（1，0）.（1）略；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

试题2（2011年全国数学联赛试题）作斜率为13的直线l与椭圆C：x236+y24=1交于A，B两点，且P32，2在直线l的上方.（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.

点评这两道高考与竞赛试题考查的是圆锥曲线同一个内容，揭示的是同一个几何性质，它们一正一反将相同的曲线，相似的结论，命制在不同试卷上，真可谓“英雄所见略同”.

二、对试题源的正向剖析

既然两道试题具有同源性质，那么我们就有必要对试题的来由进行一些背景剖析，研究试题命制的依据，容易得到如下性质：

性质设A（x0，y0）（y0≠0）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为椭圆C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为定值x0b2y0a2.

证明设A（x0，y0），E（x1，y1），F（x2，y2），则直线AE的方程为：y-y0=k（x-x0），代入椭圆方程得：（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，

∴E（a2k2-b2）x0-2a2ky0b2+a2k2，-2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2；设直线AF的方程为：

y-y0=-k（x-x0），∴F（a2k2-b2）x0+2a2ky0b2+a2k2，2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2.

∴直线EF的斜率kEF=y2-y1x2-x1=b2x0a2y0.

引申1设A（x0，y0），A′（x0，-y0）（y0≠0）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上两定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为椭圆C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为椭圆C在点A′（x0，-y0）处切线的斜率.

证明椭圆C：x2a2+y2b2=1在A′（x0，-y0）处的切线方程为：x0xa2-y0yb2=1，

∴在A′（x0，-y0）处的切线斜率k=b2x0a2y0，即k=kEF.

引申2设A（x0，y0）（y0≠0）为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为双曲线C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为定值-b2x0a2y0，且为双曲线在A′（x0，-y0）处切线的斜率.

引申3设A（x0，y0）（y0≠0）为抛物线C：y2=2px（p>0）上一定点，E（x1，y1），F（x2，y2）为双曲线C上两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，那么直线EF的斜率为定值-py0，且为抛物线在A′（x0，-y0）处切线的斜率.

三、对试题源的逆向探究

试题的根源内涵丰富，且它性质往往有不同方向的再生能力与发展空间，我们要把握多角度的探究，作为培养能力与思维的有效载体，提高效率，开阔视野.

性质设A（x0，y0）（y0≠0）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定点，斜率为b2x0a2y0的直线EF交椭圆不同于A的E（x1，y1），F（x2，y2）两点，则直线AE，AF的斜率互为相反数.

证明设A（x0，y0），E（x1，y1），F（x2，y2），直线EF的方程为：y=b2x0a2y0x+t，代入C：x2a2+y2b2=1得：（b2+b4x20a2y20）x2+2tb2x0y0x+a2t2-a2b2=0，∴直线AE，AF的斜率之和：kAE+kAF=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=（y1-y0）（x2-x0）+（y2-y0）（x1-x0）（x1-x0）（x2-x0），即证：

引申1设A（x0，y0）（y0≠0）为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定点，斜率为-b2x0a2y0的直线EF交双曲线不同于点A的E（x1，y1），F（x2，y2）两点，则直线AE，AF的斜率互为相反数.

引申2设A（x0，y0）（y0≠0）为抛物线C：y2=2px（p>0）上一定点，斜率为-py0的直线EF交抛物线不同于点A的E（x1，y1），F（x2，y2）两点，则直线AE，AF的斜率互为相反数.

四、高考真题链接

1.（2004年北京市高考数学试题）过抛物线y2=2px（p>0）上一定点P（x0，y0）（y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2y0的值，并證明直线AB的斜率是非零常数.

2.（2005江西省高考数学试题）M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB，若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.

优秀试题的“迷人风光”应体现在对高层次理性思维的考查上，同时也蕴含了更一般化的数学知识与方法.本文正是从两道高考和竞赛试题出发，以题中所考查的知识点为源头，寻根问底，在横向与纵向的联系中寻找“题源”，在题目的拓展中，强化了知识的应用.作为教者，如果能在平时的教学实践中做个有心人，重视挖掘课本与高考习题中所蕴含的价值，重视习题的进一步拓展改造，必将使得考生在高考中游刃有余.